İkinci dereceden denklemler: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Emresulun93 (mesaj | katkılar) k birleştirme |
Emresulun93 (mesaj | katkılar) |
||
1. satır:
[[File:Quadratic equation coefficients.png|thumb|right|300px|Katsayıların değişmesiyle denklemin grafiğinin değişimi (''a'' = 1, ''b'' = 0, ''c'' = 0)]]'''İkinci dereceden denklemler''', derecesi 2 olan [[polinom]]ların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir
: <math>ax^2+bx+c=0,\,</math>
''x'' değişken yani bilinmeyendir ve ''a'', ''b'' katsayılar (''a'' ≠ 0 şartıyla), ''c'' ise sabit sayıdır. Bu denklemler çarpanlara ayırma, kareye tamamlama ve diskriminant yöntemleri ile çözülürler.
== Çözümü ==
=== Çarpanlara ayırma ===
Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin
: <math>x^2-8x-12=0</math>
: denkleminde çarpımları -12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:
: <math>(x-6)(x-2)=0</math>.
: Buradan x=6 ve x=2 bulunur.
=== Kareye tamamlama ve diskriminant ===
Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,
: <math>x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!</math>
Denklemimiz şu şekildeydi
: <math>ax^2+bx+c=0 \,\!</math>
x<sup>2</sup>'nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a'ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)
: <math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!</math>
ya da
: <math>x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.</math>
Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim
: <math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!</math>
şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır
: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!</math>
Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim
: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>
Her iki tarafın da karekökünü alalım. [[Karekök]]ün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar
: <math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
x'i çekersek
: <math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math> elde edilir.
== Diskriminant ==
[[File:Quadratic equation discriminant.png|thumb|right|Dsikriminant için örnek durumlar<br
/><span style="color:#FFE600">■</span> <0: ''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><br
/><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''−<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br
/><span style="color:#0081cd">■</span> >0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x''−<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
{{ana|Diskriminant}}
Yukarıda bulunan ifadedeki <math>b^2-4ac</math>'ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar
: <math>\Delta = b^2 - 4ac.\,</math>
Eğer,
: <math>\Delta>0</math> ise denklemin iki [[gerçek sayılar|gerçek]] kökü vardır.
: <math>\Delta<0</math> ise gerçek kök yoktur, [[karmaşık sayılar|karmaşık]] kök vardır.
: <math>\Delta=0</math> ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna daburut da denir. (''double root'')
== Ayrıca bakınız ==
* [[Parabol]]
[[Kategori:Polinomlar]]
[[Kategori:Temel cebir]]
[[Kategori:Denklemler]]
[[ar:معادلة تربيعية]]
[[az:Kvadrat tənlik]]
[[bn:দ্বিঘাত সমীকরণ]]
[[be:Квадратнае ўраўненне]]
[[be-x-old:Квадратнае раўнаньне]]
[[bg:Квадратно уравнение]]
[[bs:Kvadratna jednačina]]
[[ca:Equació de segon grau]]
[[cs:Kvadratická rovnice]]
[[cy:Hafaliad cwadratig]]
[[da:Andengradspolynomium]]
[[de:Quadratische Gleichung]]
[[et:Ruutvõrrand]]
[[el:Δευτεροβάθμια εξίσωση]]
[[es:Ecuación de segundo grado]]
[[eu:Bigarren mailako ekuazio]]
[[fa:معادله درجه دو]]
[[fr:Équation du second degré]]
[[ko:이차 방정식]]
[[hy:Քառակուսային հավասարում]]
[[hi:वर्ग समीकरण]]
[[hsb:Kwadratiska runica]]
[[hr:Kvadratna jednadžba]]
[[io:Quadratala equaciono]]
[[id:Persamaan kuadrat]]
[[is:Annars stigs jafna]]
[[it:Equazione di secondo grado]]
[[he:משוואה ממעלה שנייה]]
[[ka:კვადრატული განტოლება]]
[[kk:Квадрат теңдеу]]
[[la:Aequatio quadratica]]
[[lv:Kvadrātvienādojums]]
[[lt:Kvadratinė lygtis]]
[[hu:Másodfokú egyenlet]]
[[mk:Квадратна равенка]]
[[ml:ദ്വിമാനസമവാക്യം]]
[[ms:Persamaan kuadratik]]
[[nl:Vierkantsvergelijking]]
[[ja:二次方程式]]
[[nap:Equazione quadratica]]
[[no:Andregradsligning]]
[[uz:Kvadrat tenglama]]
[[km:សមីការដឺក្រេទី២]]
[[pl:Równanie kwadratowe]]
[[pt:Equação quadrática]]
[[ro:Ecuație algebrică de gradul al doilea]]
[[ru:Квадратное уравнение]]
[[sq:Ekuacionet kuadratike]]
[[simple:Quadratic equation]]
[[sk:Kvadratická rovnica]]
[[sl:Kvadratna enačba]]
[[sr:Квадратна једначина]]
[[sh:Kvadratna jednačina]]
[[fi:Toisen asteen yhtälö]]
[[sv:Andragradsekvation]]
[[ta:இருபடிச் சமன்பாடு]]
[[th:สมการกำลังสอง]]
[[uk:Квадратне рівняння]]
[[vi:Phương trình bậc hai]]
[[yi:קוואדראטישע גלייכונג]]
[[zh:一元二次方程]]
| |||