Cebirsel topoloji: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Niyazi2012 (mesaj | katkılar) Değişiklik özeti yok |
Niyazi2012 (mesaj | katkılar) Değişiklik özeti yok |
||
50. satır:
Yukarıda tanımlanan <math>H_k(X)</math> grupları, <math>C(X)</math>˙gruplarının fonksiyonları olduklarından, <math>C(X)</math> değiştirildiğinde farklı <math>H_k(X)</math> grupları elde edilir. <math>C(X)</math> in inşasına göre, <math>H_k(X)</math> lere değişik isimler verilir. <math>C(X)</math> grubu, <math>X</math> uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu <math>CW</math> kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Bredon-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.
Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir. <math>T</math> ile objeleri <math>(X,A)</math> olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim. <math>H</math> izleci her <math>(X,A)</math> ikilisine bir basamaklı değişmeli grup <math>(H_k(X,A))</math> ve her sürekli gönderim <math>f: (X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>(Y,B)</math> ye de bir morfizma <math>f_*:H_k(X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>H_k(Y,B)</math> atar. Ayrıca, <math>H_k(X,A)</math> ile <math>H_k(A)</math> arasında <math>\partial_*: H_p(X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>H_{p-1}(A)</math> doğal geçiş izleçleri vardır. <math>H</math> nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.
(1) Homotopy Koşulu: <math>f, g: (X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>(Y,B)</math> haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.
(2) Tamlık Koşulu: <math>\iota \colon A</math><math>\rightarrow</math> <math>X</math> ve <math>j\colon X</math><math>\rightarrow</math> <math>(X,A)</math> , doğal alt uzaylık haritaları ise,
:<math>\dotsb\overset{\partial_{*}}{\longrightarrow\,}H_k(A)
\overset{\iota}{\longrightarrow\,}H_k(X)
\overset{j_*}{\longrightarrow\,}H_k(X,A)
\overset{\partial}{\longrightarrow\,} H_{k-1}(A)
\overset{\iota}{\longrightarrow\,} \dotsb</math>
tamdır.
(3) Kesme Koşulu: <math>U\subset X</math> açık kümesinin kapanışı <math>A</math> nın içinde ise, dahil olma haritası <math>k\colon (X-U,A-U)\rightarrow (X,A)</math> ya denk gelen <math>k_*\colon H_*(X-U,A-U)\rightarrow H_*(X,A)</math> morfizma birerbir ve örten olmalıdır.
(4) Boyut Koşulu: Sadece bir noktası olan uzayın bütün homoloji grupları 0 olmalıdır.
(5) Toplamsal Koşul: Uzayların topolojik toplamlarının homolojisi, homolojilerinin dik toplamı olmalıdır.
Bazı homoloji teorileri yukarıda verilen bütün koşulları sağlamayabilir. Tekil homoloji bu koşulların hepsini sağlar, ve homoloji gruplarının hesaplanabilirliği [[Kesme Koşulunun]] bir sonucudur. Tekil homolojinin, kesme koşulunu sağladığını gösterilirken [[altbölüm]] tekniği kullanılır.
=== Kohomoloji grupları ===
| |||