Cebirsel topoloji: Revizyonlar arasındaki fark

'''Cebirsel topoloji''', [[topolojik uzaylar]]ı cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir ümeyekümeye bir ya da birkaç işlem konarak [[sayılar kuramı]] ya da [[cebir]] yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir [[topoloji]] koyaraksa topoloji ve ,ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi [[cebirsel]], [[aritmetik]] veya [[topolojik]] [[değişmez]]ler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin [[tıkızlık]], [[bağlantılılık]], [[sayılabilirlik]] bu tür değişmezlerdir. [[Topolojik eşyapı]]sal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez ''aynı'' değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir <math>X</math> uzayı için <math>G(X)</math> olarak gösterilecek bir cebirsel nesne kurulacak. Ayrıca <math>X</math> uzayından <math>Y</math> uzayına [[süreklilik|sürekli]] bir <math>f</math> gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve <math>f_*</math> olarak gösterilecek gönderimler (morfizmalar) tarif edecek. Yani, topolojik kategoriden cebirsel kategorilere [[izleç]]([[fonktör]]) inşa edilecek. Örneğin <math>G(X)</math> bir [[Öbek (matematik)|grup]]/[[Halka (Cebir)|halka]]/[[Cisim (Cebir)|cisim]]/[[Modül (soyut cebir)|modül]] olarak inşa edilmişse, <math>f_*</math> gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak:

Yukarıdaki örneklerin aksine, <math>\pi_1(X,x_0)</math> genelde değişmeli bir grup değildir. Daha genel olarak, verilen her grup icin temel grubu o grup olan bir uzay inşa etmek mümkündür.