Hiperbolik fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Dış bağlantılar |
Dairesel trigonometrik fonksiyonlarla karşılaştırma |
||
199. satır:
:<math>B_n \,</math> ''n''inci [[Bernoulli sayısı]]dır
:<math>E_n \,</math> ''n''inci [[Euler sayısı]]dır
==Dairesel trigonometrik fonksiyonlarla karşılaştırma==
[[Kartezyen koordinat sistemi|Kartezyen düzlem]]in aşağıdaki iki altkümesi ele alındığında
:<math>A = \lbrace ( \cosh t , \sinh t ) : t \in R \rbrace \quad \text{ve}\quad B = \lbrace (\cos t , \sin t ) : t \in R \rbrace .</math>
''A'' [[birim hiperbol]]ün sağ dalını oluşturur iken
{(''x,y''): ''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup> = 1},
''B'' [[birim çember]]i oluşturur. Doğal olarak <math>A \cap B</math> = {(1,0)} dır. Aradaki temel fark ''t'' → ''B'' [[periyodik fonksiyon]] iken ''t'' → ''A'' değildir.
Hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik özdeşliklere biçimsel olarak benzeyen birçok özdeşliği sağlar. Aslında, '''Osborn kuralı'''<ref>G. Osborn, [http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5572(190207)2%3A2%3A34%3C189%3A1MFHF%3E2.0.CO%3B2-Z Mnemonic for hyperbolic formulae], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902</ref> herhangi bir trigonometrik özdeşliğin, sinüs ve kosinüslerin üstlerinin integrali olarak genişletildiğinde, sinüsün sinh'a, kosinisün cosh'a değiştirilmesi ve 2, 6, 10, 14, ... sinh çarpımı içeren tüm terimlerin işaretinin değiştirilmesiyle hiperbolik özdeşlikler elde edileceğini gösterir. Örneğin toplama teoremleri:
:<math>\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,</math>
:<math>\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,</math>
:<math>\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,</math>
"çift değişken formülleri"
:<math>\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,</math>
:<math>\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,</math>
:<math>\tanh 2x\ = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x} \,</math>
ve "yarım değişken formülleri"<ref>{{Kitap belirt
|başlık=Technical mathematics with calculus
|basım=3rd
|ilk1=John Charles
|son1=Peterson
|yayımcı=Cengage Learning
|yıl=2003
|isbn=0-766-86189-9
|sayfa=1155
|url=http://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC}}, [http://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA1155 Chapter 26, page 1155]
</ref>
:<math>\sinh \tfrac{x}{2} = \sqrt{ \tfrac{1}{2}(\cosh x - 1)} \,</math> Not: Dairesel karşılığının −1 ile çarpılmışına denktir.
:<math>\cosh \tfrac{x}{2} = \sqrt{ \tfrac{1}{2}(\cosh x + 1)} \,</math> Not: Dairesel karşılığına denktir..
sinh ''x'' 'in [[türev]]i cosh ''x'' ve cosh ''x'' 'in [[türev]]i sinh ''x'' 'tır. Bu dairesel fonksiyonlara benzer ancak işareti farklıdır (örneğin, cos ''x'' 'in türevi −sin ''x'' 'tir).
[[Gudermannian fonksiyonu]] karmaşık sayıları içermeyen hiperbolik fonksiyonlar ile dairesel fonksiyonlar arasında doğrudan bağıntıları verir.
''a'' cosh(''x''/''a'') fonksiyonunun grafiği [[zincir eğrisi]], yani uniform esnek bir zincirin iki sabit noktadan asıldığında uniform yerçekimi kuvveti etkisiyle oluşturduğu eğridir.
==Üstel fonksiyon ile olan bağlantı==
| |||