Trigonometrik integral

Si(x) (mavi) ve Ci(x) (yeşil) çizim olarak aynı düzlemde.

Matematikte, trigonometrik integral trigonometrik fonksiyonların integralinin bir ailesini içerir. temel trigonometrik integralin bir sayısı trigonometrik fonksiyonların integralinin bir listesi dersindedir.

Sine integralDüzenle

 
Si(x) için 0 ≤ x ≤ 8π.nin grafiği

farklı bir sin integrali tanımıdır:

 
 

Böylece tanım ile,   ifadesi  'nin ilkeli   için sıfırdır ve   ifadesi   ilkeli bu   için sıfırdır.İlişki ile verilen

 

burada son integral Dirichlet integrali olarak bilinir. Unutmadan   sinc fonksiyonu ve ayrıca sıfırıncı küresel Bessel fonksiyonudur.

işaret işlemede,Sine integralin salınımı ileri taşıma nedeniyle ve parazit fazlalıklar ise sinc filtresi kullanılıyor, ve frekans domeni gürültüsü olarak bir alçak-geçiren filtre olarak eğer bir sinc filtresi gövdesi kullanılıyor .

Gibbs fenomeni bir ilişkili fenomendir:sinc olarak bir alçak-geçiren filtrenin düşüncesi ve Sine integral olarak Heaviside basamak fonksiyonu ile, bu evrişimdir . Gibbs fenomeni nedeniyle Fourier serisinin gövdesine karşılıktır

Cosine integralDüzenle

 
Ci(x) için 0 < x ≤ 8π.nin çizimi

farklı cos integral tanımı :

 
 
 

burada   Euler–Mascheroni sabitidir.

  ifadesi   ifadesi   in sıfır için ilkelidir. elimizde:

 
 

Hiperbolik sine integralDüzenle

hiperbolik sine integral:

 
 

Hiperbolik cosine integralDüzenle

The hiperbolik cosine integral

 

Nielsen'in spiraliDüzenle

 
Nielsen'in spirali.

spiral formu si,ci'nin parametrik grafik tarafından Nielsen'in spiral olarak bilinir.Ayrıca o Euler spirali olarak ifade edilir, the Cornu spiral, bir klotoid, veya polinomal spiral bir-eğri olarak.spiral is ayrıca Fresnel integraliyle yakından ilişkilidir. Bu spiral görsel işleme içinde uygulamalarda ,yol ve pist yapımı ve diğer alanlarda var.

AçılımDüzenle

Çeşitli açılımlar argüman aralığına bağlı olarak, Trigonometrik integraller değerlendirilmesi için kullanılabilir.

Asimptotik seriler (büyük bileşen için)Düzenle

 
 

Bu seri asimptotik ve ıraksaktır, hatta hassas değerlendirme tahminleri için kullanılan ve olmasına rağmen   olur.

yakınsak serilerDüzenle

 
 

Bu seriler herhangi karmaşık   için yakınsaktır,   için sınırlı yavaş yakınsak seriler olmasına rağmen, henüz kesinleşmediği için birçok terimler gerektiren.

Sanal bileşenin üstel integrali ile ilişkisiDüzenle

Bu fonksiyon

 

üstel integral denir. Bu Si ve Ci ye yakın ilişkilidir:

 

Her ilgili fonksiyon bileşenin negatif değerlerde kesilmiş analitik hariç olarak,ilişkinin geçerlilik alanı genişletilmiş olmalıdır  . ( bu sınırın dışı,bu toplanabilir terimlerin   nin tam sayı çarpanları ifadededir).

Genelleştirilmiş integro-üstel fonksiyonun sanal argüman durumlar aşağıdadır

 

reel parçası olan

 

Similarly

 

Verimli değerlendirmeDüzenle

Padé yaklaşıklığı yakınsak Taylor serisi küçük bağımsız değişkenler için fonksiyonların değerlendirilmesi için etkili bir yol sağlar. Aşağıdaki formüller için   için   den daha doğrudur:


 

  için,yardımcı fonksiyonlar kullanılabilir:


 


bu kullanılıyor,trigonometrik integraller belki şöyle gösterilebilir


 


  ve   nin Chebyshev-Padé açılımları   aralığı yaklaşıklığı aşağıda verilmiştir,  :için   dan daha iyidir


 


Burada yukardaki için uygun bilgisayar kod girişi bölüm versiyonları kopyalıdır( x2 = x*x ve y = 1/(x*x) burada yaklaşıklık kullanılıyor):

   Si = x*(1. +
           x2*(-4.54393409816329991e-2 +
               x2*(1.15457225751016682e-3 +
                   x2*(-1.41018536821330254e-5 +
                       x2*(9.43280809438713025e-8 +
                           x2*(-3.53201978997168357e-10 +
                               x2*(7.08240282274875911e-13 +
                                   x2*(-6.05338212010422477e-16))))))))
        / (1. + 
           x2*(1.01162145739225565e-2 +
               x2*(4.99175116169755106e-5 + 
                   x2*(1.55654986308745614e-7 +
                       x2*(3.28067571055789734e-10 +
                           x2*(4.5049097575386581e-13 + 
                               x2*(3.21107051193712168e-16)))))))
   
   Ci = 0.577215664901532861 + ln(x) + 
        x2*(-0.25 +
            x2*(7.51851524438898291e-3 +
                x2*(-1.27528342240267686e-4 + 
                    x2*(1.05297363846239184e-6 +
                        x2*(-4.68889508144848019e-9 +
                            x2*(1.06480802891189243e-11 +
                                x2*(-9.93728488857585407e-15)))))))
        / (1. +
           x2*(1.1592605689110735e-2 +
               x2*(6.72126800814254432e-5 + 
                   x2*(2.55533277086129636e-7 +
                       x2*(6.97071295760958946e-10 +
                           x2*(1.38536352772778619e-12 + 
                               x2*(1.89106054713059759e-15 +
                                   x2*(1.39759616731376855e-18))))))))
   
   f = (1. + 
        y*(7.44437068161936700618e2 +
           y*(1.96396372895146869801e5 +
              y*(2.37750310125431834034e7 +
                 y*(1.43073403821274636888e9 +
                    y*(4.33736238870432522765e10 +
                       y*(6.40533830574022022911e11 +
                          y*(4.20968180571076940208e12 +
                             y*(1.00795182980368574617e13 +
                                y*(4.94816688199951963482e12 +
                                   y*(-4.94701168645415959931e11)))))))))))                                                               
        / (x*(1. +
              y*(7.46437068161927678031e2 +
                 y*(1.97865247031583951450e5 +
                    y*(2.41535670165126845144e7 +
                       y*(1.47478952192985464958e9 +
                          y*(4.58595115847765779830e10 +
                             y*(7.08501308149515401563e11 +
                                y*(5.06084464593475076774e12 +
                                   y*(1.43468549171581016479e13 +
                                      y*(1.11535493509914254097e13)))))))))))
   
   g = y*(1. +
          y*(8.1359520115168615e2 +
             y*(2.35239181626478200e5 +
                y*(3.12557570795778731e7 +
                   y*(2.06297595146763354e9 +
                      y*(6.83052205423625007e10 +
                         y*(1.09049528450362786e12 +
                            y*(7.57664583257834349e12 +
                               y*(1.81004487464664575e13 +
                                  y*(6.43291613143049485e12 +
                                     y*(-1.36517137670871689e12)))))))))))
       / (1. +
          y*(8.19595201151451564e2 +
             y*(2.40036752835578777e5 +
                y*(3.26026661647090822e7 +
                   y*(2.23355543278099360e9 +
                      y*(7.87465017341829930e10 +
                         y*(1.39866710696414565e12 +
                            y*(1.17164723371736605e13 +
                               y*(4.01839087307656620e13 +
                                  y*(3.99653257887490811e13))))))))))

Ayrıca bakınızDüzenle

Sinyal işlemeDüzenle

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle