Theodorus sarmalı

Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır),^[1] uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Çizimi değiştir

Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu √2 olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu √3'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki nci üçgen, kenar uzunlukları √n ve 1 olan ve hipotenüs √n+1 olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= √16), 1 ve hipotenüs √17'dir.

Tarihçe ve kullanım değiştir

Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı Theaetetus'un diyaloğunda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.^[2]

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.^[3]

Hipotenüs değiştir

Üçgenlerin hipotenüsleri, $h_{n}$ , $h_{1}={\sqrt {2}}$ 'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden √17'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, √17 hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.^[4]

Üst üste gelme değiştir

1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.^[4]^[5]

Genişleme değiştir

Theodorus Sarmalı'nın renkli 110 üçgen ile genişletilmiş hali

Theodorus sarmalını hipotenüsü √17 olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

Büyüme oranı değiştir

Açı değiştir

Eğer φ_n, nci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.

Bu nedenle, bir sonraki n üçgenin φ_n açısının büyümesi:^[1] $\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).$

olur. İlk k üçgenin açılarının toplamına, kıncı üçgen için toplam açı φ(k) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan c₂ ve knin karekökü ile orantılı olarak büyür:^[1] $\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)$

burada

\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots

'dir.

( A105459).

Bir üçgen veya spiral kesiti

Yarıçap değiştir

Sarmal yarıçapının belirli bir n üçgeninde büyümesi;

\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.

'dir.

Arşimet sarmalı değiştir

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar.^[1] Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit $π$ 'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla $π$ 'ye yaklaşır.^[6]

Aşağıda, $π$ 'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

Sargı No.:	Hesaplanan ortalama sargı mesafesi	$π$ ile karşılaştırıldığında ortalama sargı mesafesinin doğruluğu
2	3.1592037	%99.44255
3	3.1443455	%99.91245
4	3.14428	%99.91453
5	3.142395	%99.97447
→ ∞	→ $π$	→ %100

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin $π$ 'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.^[1]

Sürekli eğri değiştir

Davis'in orijinden zıt yönde genişleme dahil (negatif düğüm sayıları) Theodorus Sarmalının çözümsel uzanımı.

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek Davis 2001, ss. 37–38'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader^[7] ve Arieh Iserles (ek olarak Davis 2001) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, Gronau 2004'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),

başlangıç koşulu $f(0)=1,$ ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, Heuvers, Moak & Boursaw 2000'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı Waldvogel 2009'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip $n$ düğümleri numaralandırılmıştır. Koordinat başlangıcındaki $O$ kesikli çizgi ile gösterilen çember, $O$ noktasındaki eğrilik çemberidir.

Ayrıca bakınız değiştir

Notlar değiştir

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hahn, Harry K. "The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral". arXiv:0712.2184 $2.
^ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1
^ Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, ss. 86-87.
^ ^a ^b Long, Kate. "A Lesson on The Root Spiral". 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2008.
^ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), ss. 148-152.
^ Hahn, Harry K. (2008). "The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral". arXiv:0801.4422 $2.
^ Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (tez), 1990, Brown University

Konuyla ilgili yayınlar değiştir

Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
Gronau, Detlef (March 2004), "The Spiral of Theodorus", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3), ss. 230-237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), "The functional equation of the square root spiral", T. M. Rassias (Ed.), Functional Equations and Inequalities, ss. 111-117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF), 23 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 11 Eylül 2020

[KAHN2-1] Hahn, Harry K. "The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral". arXiv:0712.2184 $2.

[2] Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1

[3] Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, ss. 86-87.

[LONG-4] Long, Kate. "A Lesson on The Root Spiral". 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2008.

[5] Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), ss. 148-152.

[6] Hahn, Harry K. (2008). "The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral". arXiv:0801.4422 $2.

[7] Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (tez), 1990, Brown University

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]