Temel grup [1] ilk olarak Henri Poincaré tarafından 1895'te Analysis Situs [2] kitabında bahsedilmiştir. Temel grup cebirsel topoloji'de bir topolojik uzaya eşlenen, topolojik uzayın delik sayısı, şekli gibi bilgileri içeren matematiksel bir gruptur. Bu eşleme topolojik uzay üzerinde sabitlenmiş bir noktadaki döngülerin [3] birbirlerine homotopik (büzülme) [4] olup olmadıklarına göre yapılır. Bu grup, homotopi gruplarının [5] ilki ve en basididir. Homeomorf olan topolojik uzayların aynı temel grubu olur. Bu bakımdan topolojik bir değişmezdir. [6]

HomotopiDüzenle

Yol[1]Düzenle

 yolu,   aralığından   topolojik uzayına giden sürekli bir fonksiyondur.   başlangıç noktası,  bitiş noktası diye adlandırılır.

Döngü[1]Düzenle

 döngüsü,   aralığından   topolojik uzayına giden başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan sürekli bir fonksiyondur.

Tanım[1]Düzenle

  bir topolojik uzay olsun. Yolların homotopisi  ,   fonksiyon ailesidir öyle ki; başlangıç noktası   ve bitiş noktası    'den bağımsız olmalı ve   şeklinde eşleştirdiğimiz   fonksiyonu sürekli olmalı.

Örnek[1]Düzenle

 'de aldığımız aynı yerde başlayıp aynı yerde biten herhangi iki   ve   yolunu birbirlerine   homotopisi ile bağlayabiliriz. Yani   üzerindeki aynı noktalarda başlayan ve biten yolları ya da döngüleri birbirlerine büzebiliriz.

Tanım [7]Düzenle

  bir topolojik uzay ve   olsun.   noktasındaki tüm döngüleri içeren   kümesine homotopi bağıntısını koyarsak   topolojik uzayının  noktasındaki döngülerine göre temel grubunu elde etmiş oluruz.   şeklinde gösteriyoruz. Grubumuzun işlemi olan  işlemini önce   döngüsünü iki kat hızlı sonra  döngüsünü iki kat hızlı gitmek olarak tanımlıyoruz. Burada   olduğundan homotopi denklik bağıntısı sınıflarında temsilci seçmenin önemsiz olduğunu söylüyoruz. Grubumuzun birim elemanı  noktasındaki sabit döngünün denklik sınıfıdır. Bir   elemanın tersi ise   şeklinde tanımlanan   denklik sınıfıdır.  noktasının seçimi   topolojik uzayı eğer yol bağlı [8] ise önemsizdir.

ÖrneklerDüzenle

  üzerindeki döngüler yukarıdaki örnekte bahsettiğimiz homotopi ile birbirlerine büzülebiliyorlar. Yani bütün döngüler sabit döngüye büzülebilir. Bu da bize  'in temel grubunun bariz gruptur.   birim çemberinin temel grubu  'dir. Burada   üzerindeki döngülerin kaç kere döndüklerini sayıyoruz. Örneğin bir döngü 3 kere dönüyorsa bu döngüyü 3'e gönderiyoruz.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ a b c d Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0

Allen Hatcher, Algebraic Topology [9]