Temel grup

Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs"[1] adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinde ortaya çıktı. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

Yollar ve HomotopilerDüzenle

Bu bölümde uzay olarak topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız   aralığı   olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası   ve bitiş noktası   olan yollara   ’den   ’ya giden yollar diyeceğiz.

YolDüzenle

Bir   uzayı alalım. Bir   sürekli fonksiyonuna   uzayında bir yol denir. Böyle bir   yolu için   noktası başlangıç noktası ve   noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.

  olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla   ve   olan ve  'den   uzayına giden bütün yolların kümesi   olarak tanımlanır.

 
Şekil 1:  'in grafiği üzerinde kırmızı ok ile belirtilen oryantasyonu.

ÖrneklerDüzenle

İlk örnek olarak,   uzayında bir   fonksiyonunu   olarak tanımlayalım.     uzayındaki yollar genellikle     ,  fonksiyonu ile temsil edilir. Burada   ve   sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir     yolunu   şeklinde tanımlayalım. Bu durumda

  noktası, başlangıç noktası ve

  bitiş noktasıdır.

Ayrıca   üzerindeki oryantasyonun,   fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.


Diğer bir örnek olarak da bir   fonksiyonunu ele alalım ve   olsun.

  fonksiyonunun grafiği   uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir   fonksiyonunu   olarak tanımlayalım.

  olduğunu görüyoruz.   ’in bileşenleri olan   ve  ,   üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan  'in  fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.

 
Şekil 2: Mavi oklar   fonksiyonunu ve siyah oklar   yolunu temsil etmektedir.

Şimdi     fonksiyonunu ele alalım, öyle ki   olsun.

 , bir yol değildir çünkü tanım kümesi   değildir.   fonksiyonunu kullanarak   grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.

Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım.   fonksiyonu   olarak tanımlansın.

Sonra bileşke fonksiyonu yazalım.     öyle ki   olsun.

    ve   olmaktadır.

Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri   ve  ,   tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç olarak   ,   uzayında bir yol olur.



 
Şekil 3:   ve   yolları.

Ters YolDüzenle

 ’den  ’ya giden bir   yolu için,   ters yolu     olarak tanımlanır. Bu durumda   yolunun başlangıç noktası   ve bitiş noktası   olur.


Örnek olarak,   yolunu   olarak tanımlayalım. Bu durumda   ve   olur.

  üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek,   olarak tanımlı     olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).

    ve   ,  ,   olduğunu not edelim.

 
Şekil 4: Birim çember ve üzerindeki   yolu (kırmızı oklarla gösterilmiştir.)

Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim.

  birim çember olmak üzere,   fonksiyonunu    [2] olarak tanımlayalım.

Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:

  süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.[3]

 ,  ,  ,  ,  .

Bu nedenle,  birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).

Birim küre üzerinde yol örneğinde ise,   üzerindeki birim küreyi ele alalım:  .

  fonksiyonunu     şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı   fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.

Sonuç olarak,   ve   olur. Bu yüzden,   fonksiyonu   üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.

Diğer yandan,   ,     biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve   olduğundan   fonksiyonu   üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).

HomeomorfizmaDüzenle

Herhangi   ve   topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma,   birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır;   ve   sürekli fonksiyonlardır.

TanımDüzenle

 ’dan  ’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır: .

ÖnermelerDüzenle

  •   kümesi fonksiyon bileşkesi   altında bir gruptur.

Kanıtı için, önce   kümesinin   işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi   seçelim.   olduğunu göstereceğiz.

 , daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde   için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından   fonksiyonu da artan olur.[4]

İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan   fonksiyonu da sürekli olur.

Öte yandan,   ve   fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde     fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak   elde ederiz.

Şimdi ( ) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.[5]

•Bileşim özelliği: Herhangi   seçelim. Rastgele bir   elemanı alalım. O halde,

  ve •   olduğundan her   için   olur.


•Birim eleman:   fonksiyonu,   olduğunda ( )’nun birim elemanıdır çünkü   (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.

Öte yandan   ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her   için  .

Sonuç olarak her   için   olmaktadır.


•Terslenebilme: Herhangi bir   alalım.  ’ın tanımından dolayı,  ’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve  ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.

  olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için,  ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.

Herhangi   alalım ve   olduğunu varsayalım.   olduğunu gösterelim.

  daima artandır ve   olduğu için   olur.  ’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı   ve   olan biricik   elemanları vardır.

  daima artan ve   olduğu için,   olur. Bu yüzden   ve   olur. Sonuç olarak,   işlemi altında   bir gruptur.


  • Eğer   ise   ve   olur.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi   alalım; yani   sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde  ’ fonksiyonu da süreklidir.

  olsun, ki bu   anlamına gelir.   aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz.[6] O zaman   sürekli olduğundan  ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.

  birebir ve örten olduğundan,   olur. Fakat   bağlantılı değildir. Bu yüzden   varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani   olur.

Şimdi   olduğunu gösterelim.   olduğunu varsayalım.   fonksiyonu daima artan ve   olduğundan,  olur; bu da  demektir.

  olduğundan   değeri  ’den büyük olamaz. O halde   olur. Aynı muhakeme ile   sonucu elde edilir.

Sonuç olarak, her   için,   ve   olur.

Yollar üzerinde denklik bağıntısıDüzenle

  uzayında   yollarını düşünelim. Eğer   eşitliğini sağlayan bir   varsa, o halde   denilir.


  bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz;   bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

•yansıma:   herhangi bir yol olsun. Eğer   fonksiyonunu   şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak   olur. Dolayısıyla   olur.


•simetri:   herhangi iki yol olsunlar.   olduğunu varsayalım ve   olduğunu gösterelim.

  ise   olacak şekilde bir   vardır.   fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:

 . Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki   ve   oldu. Sonuç olarak   olur.


•geçişme:   herhangi üç yol olsunlar.   ve   olduklarını varsayalım ve   olduğunu gösterelim.

Varsayımlara göre,   ve   eşitliklerini sağlayan   elemanları vardır. Bu nedenle,  ’dir.

  olduğundan   olur. Yani   elemanı   eşitliğini sağlar. Dolayısıyla,   olur.

Sonuç olarak   bir denklik bağıntısıdır.

HomotopiDüzenle

  ve   fonksiyonları   uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi,   ,   şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

(i) Her   sayısı için,  ,  ’den  ’ya giden bir yol belirtir.

(ii)  ’den  ’ya giden   ,   yolları için     ve    ’dir.   ve   yolları bu şekilde bir   homotopisi ile bağlanırlarsa   ve   homotopiktirler denilir ve   şeklinde gösterilir.

ÖnermelerDüzenle

  • Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz:  ,  ,  ve   :   şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer   ve  olduğunda   denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.   arasında   homotopisi ve   arasında ise   homotopisi tanımlı olsun.   homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.

  olduğunda   eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden   denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.



  • Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir   yolunun homotopi sınıfı   ile gösterilir.

İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.[7]

•yansıma:  ,  ’den  ’ya giden bir yol olsun.   ,   şeklinde tanımlanmış   fonksiyonu   ile   arasında bir homotopidir; çünkü her   için,

  fonksiyonu  ’den  ’ya giden bir yoldur ve  ’dir. Sonuç olarak   elde edilir.


•simetri:  ,  ’den  ’ya giden 2 yol olsun.   olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir   şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit   için,

  fonksiyonu  ’den  ’ya giden bir yol olur ve    ,    ’dir.

Şimdi   fonksiyonunu     şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit   için,     fonksiyonu  ’den  ’ya giden bir yoldur ve

      ve       olur. Sonuç olarak  elde edilir.


•geçişme:   şeklinde tanımlı 3 yol olsun.   ve   olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken;  dir.

  ve   olduğundan öyle   ve   homotopileri vardır ki;   ,     ve    ,  ,     ve

   ’dir. Şimdi bir   fonksiyonunu

  şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki;   fonksiyonu   noktası dışında her yerde süreklidir.

Öte yandan   için     ve     olmaktadır.

Dolayısıyla   fonksiyonu   noktasında da süreklidir. Ayrıca,     ve     olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak  

  elde edilir.



  •   gruptur.

Kanıtını göstermek için, örnek olarak   ve  ,  'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.

•Birim elemanı  ,   olan   döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir   döngüsü için   eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır:  .

 ,  'te bulunan herhangi bir döngü olsun.  'in tersini   olarak tanımlayalım.  'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise   arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır:  .

  herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise   olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır:  .

Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü   bir gruptur.

ÖrneklerDüzenle

  • 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu   tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir:  .
  • Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur.

Dış bağlantılarDüzenle

Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

KaynakçaDüzenle

  1. ^ "Analysis Situs". 10 Eylül 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  2. ^ "Euler Formülü". 18 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Haziran 2022. 
  3. ^ "Continuity of the exponentiel fonctions". 11 Ocak 2004 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  4. ^ "Bileşke Fonksiyon Özellikleri" (PDF). 12 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  5. ^ "Grup Özellikleri" (PDF). 20 Aralık 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  6. ^ "Connected Sets in R" (PDF). 7 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  7. ^ "Denklik bağıntısı özellikleri" (PDF). 11 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.