Minkowski eşitsizliği

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan , , i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir, ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı ≥ 0.için f = g aşağıdaki norm ile verilir:

Eğer p < ∞, veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir.(S'in ögelerinin sayısı).

KanıtDüzenle

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak,bunlar ile aşağıda

 

Nitekim, aslında burada   konveks üzerinde   (  birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

 

Bunun anlamı

 

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz  . Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki   sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

 
 
 
 
 

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile   her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliğiDüzenle

Varsayalımki (S11) ve (S22) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

 

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1, ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

 

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle