Ana menüyü aç

Koşullu beklenti

Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Koşullu beklenti kavramı Rus matematikçi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmış olasılık kuramı'nın "ölçüm teorisi" ile tanımlanıp açıklanması sürecinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca stokastik sürecler incelemelerinde "martingal" konusu incelemesi için elzem bir kavramdır.

GirişDüzenle

X ve Y ayrık rassal değişken olsunlar. Bu halde "Y=y olayı, Y sahasında ynin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise X değişkenin Y=y koşullu beklentisi şöyle tanımlanır:

 

Burada   X değişkeninin istatistiksel açıklığını gosterir.

Bu sonucu Ynin bir sürekli rassal değişken olmasi haline de genişletmeye calışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(Y=y) = 0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkça ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilmesi mümkündür:

 

Her iki taraf da sıfır olup burada ynin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade Y sahasında bulunan her türlü ölçülebilir B altseti için geçerli olur; yani

 

Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için yeterli şart olur.

Formel tanımlamaDüzenle

  bir gerçel rassal değişken X ve bir alt-sigma cebiri   ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman bir verilmiş   için Xin koşullu beklentisi

 

ifadesini tatmin eden herhangi bir  -ölçülebilir fonksiyon   olur.[1]

Burada dikkat edilirse,   koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.

TartışmaDüzenle

Verilen tanımlama üzerinde bazı noktaların tartışılması gerekir:

  • Bu yapıcı ve pratik bir tanımlama değildir. Sadece koşullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliğinin verilmesidir.
    • Gereken nitelik giriş kısmında verilen son ifadenin aynı şeklindedir.
    • Bir koşullu beklentinin var olması "Radon-Nikodym teoremi" adı verilen bir savla gösterilir ve bu sav X için (koşulsuz) beklenti değerinin var olması için de yeterli bir şart sağlar.
    • Sonucun tek olması "nerede ise kesinlik" ile gösterilebilir; yani aynı koşullu beklentinin verziyonları ancak "sıfır olasılık seti" için değişik olacaktır.
  • Sigma cebiri ile tanımlanmış   kosullanmanin "taneli olmasini (granularity)" kontrol eder. Daha ince taneli σ-algebra   σ-cebiri daha genis turlu olaylar için kosullanmaya izin verir.
    •   hal uzayli bir Y rassal değişkeni değerleri uzerinde bagimsizca kosullanma için Y ye göre Σnin "onsel-imaji (pre-image)"ni,yani
 

kullanarak kosullu beklenti tanımlama yeterlidir.

Bu kosullu beklentinin σ(Y)-olculebilir olmasini saglamay yeterli olur. Kosullu beklenti altinda yatan Ω olasilik uzayindaki olaylar uzerine kosullanmis olarak tanimlanmakla beraber, bunun σ(Y)-olculebilir olmasi gerekliligi (giriste gosterildigi gibi)   uzerinde kosullamaya imkân verir.

Kosullu olasilik tanimlanmasiDüzenle

Herhangi bir istaistiksel olay   için su gosterge fonksiyonu tanımlansın:

 

Bu "Borel σ-cebiri"ne göre [0,1] içinde bir rassal degişkendir, Bu rassal değişkenin beklentisi Anin olasiligina esirt olur:

 

Bu halde, 'verilmis   için kosullu olasilik, eger

  ifadesinin A icin gosterge

fonksiyonunun kosullu beklentisi olmasi halinde

 

olur; yani

 

Diger bir sekilde ifadeyle,  

 

ifadesini tatmin eden  -olculebilir fonksiyondur.

Eger   ifadesi her ω ∈ Ω için de bir olasilik olcusu ise, boyle bir kosullu olasilik duzgun olur. Bir duzgun kosullu olasiliga göre bir rassal değişkenin beklentisi onun kosullu beklentisine esittir.

Faktörleme olarak koşullandırmaDüzenle

Bu denklem su verilen gösterimin bir kumutatif gosterim olduğunu soylemek seklinde de yorumlanabilir:

            E(X|Y)= goY
  ────────────────────────────────> R 
        Y             g=E(X|Y= ·)
Ω ───────────>  R   ──────────────> R 
ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω))
                y   ──────────────> g(  y ) = E(X|Y=  y )

Denklemin anlamina göre X için entegraller ve Unun bir altsetinde olculebilir B için Y−1(B) sekilideki setler için   bilesigi birbirine ozdestirler.

Bir alt-cebire koşullandıran relatifDüzenle

N σ-alt-cebirlenin M σ-alt-cebiri ile koşullandırılması için diğer bir gorus sekli bulunmaktadır. Bu sekil önceden verilmiş olan incelemenin basitce ozellestirilmis seklidir. U basit olarak, uzerinde N σ-cebirli ve Y ozdeslik tasarimi olan Ω uzayi olduğu kabul edilir. sonuç soyle ifade edilir:

Teorem: X Ω uzerinde entegrali bulunan gercel rassal değişken ise, o halde P'ye oranla esdegerlilige uygunsa, tek bir ve tek su şarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur; bu şarta göre altcebir N içinde bulunan herhangi bir B seti için

 

olur. Burada g Nye göre olculebilir olur (ve bu X için gerekli olan M için olculebilir olma şartından daha siki bir şarttir.)

Bu sekilde kosullu beklenti genellikle E(X|N) olarak yazılır. Bu sekil olasilik kurami uzerinde spesialize olan matematikçiler tarafından tercih edilmektedir. Buna bir neden entegre edilebilir kare gercel rassal değişkenler uzayında (yani sonlu ikinci momenti bulunan gerçel rassal değişkenler için)

X → E(X|N)

eşlenmesi kendine-eklenmis ortogonal projeksiyon olur.

 

Temel niteliklerDüzenle

(Ω,M,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın:

  • Bir σ-altcebirine göre koşullandırılırsa, N entegre edilebilir gercel rassal değişkenler uzayında doğrusaldir.
  • E(1|N) = 1
  • Jensen'in esitsizligi gecerlidir: Eger f bir conveks fonksiyon ise, o halde
 
  • Bir daralan pojeksiyona göre koşullandılırsa herhangi bir s ≥ 1 için
 

olur.

Ayrıca bakınızDüzenle

Dışsal kaynaklarDüzenle

  • Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi (İngilizce) (Erişme:10.7.2010))
  • William Feller, (1950), An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,, Wiley. (İngilizce)
  • Meyer, Paul A.,(1956) Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co. (İngilizce)
  • Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), Probability and Random Processes, Oxford:Oxford University Press ISBN 0-19-857222-0 (İngilizce)

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Loève, Michel (1978), Probability Theory vol. II (4th ed.). Springer. ISBN 0-387-90262-7., "Chapter 27. Concept of Conditioning" say. 7 (İngilizce)