Jeodezik eğrilik

Riemann geometrisi'nde bir eğrisinin ölçüsü jeodezik eğrilik olan den ne kadar uzak bir jeodezik olduğunu gösterir. Verilen bir manifoldunda jeodezik eğrilik, 'nın eğriliği(aşağı bakınız)sadece sıradandır., ama bir nin bir altmanifoldu üzerinde yatanla sınırlıysa(yani yüzey üzerinde eğrilik için), içindeki nın eğriliğine kaynak jeodezik eğrilik ve o genel manifoldu çevresi içinde eğriliğinden farklıdır. nın eğriliği ile iki faktör üzerinde bağlıdır: nın yönü içinde altmanifoldunun eğriliği (normal eğrilik ), bu yalnızca eğrinin yönünden bağımlıdır,ve 'nın eğriliği (jeodezik eğrilik ) içinde gösterilen bir ikinci derece niceliktir. Burada aradaki ilişki dır.Özel olarak üzerinde sıfır jeodezik eğrilikler var (bu "düz"dür), böylece , Bu alt manifoldu olduğu zaman işte bu nedenle ortam uzayda eğimli görünür .

TanımDüzenle

Bir  ,manifoldu içinde   eğriliği yay uzunluğu ile birim tanjant vektör   ile ölçeklenir Bu eğrilik  :   in kovaryant türev normudur.Eğer   üzerine   yatıyorsa jeodezik eğrilik altmanifolda tanjant uzay üzerinde kovaryant türev   nin izdüşümünün normudur. Tersine normal eğrilik altmanifolda normal demeti üzerinde düşünülen noktada  in izdüşüm normudur

Eğer manifold çevresi öklidyen   uzayı , ise kovaryant türev   ifadesi   in sadece genel türevidir.

ÖrnekDüzenle

Diyelimki üç boyutlu Öklid uzayı birim küre   içindedir.  nin normal eğriliği 1'e eştir, düşünülen yön bağımsızdır. Büyük çember   ,eğriliği var.bu yüzden sıfır jeodezik eğrilik var, ve bunun için jeodeziklerdir. Yarıçapı daha küçük çember   eğriliği   ve jeodezik eğrilik   olacak.

Jeodezik eğriliklerin bazı sonuçlarıDüzenle

  • jeodezik eğrilik   altmanifoldu içinde içsel eğrilik hesaplandığında genel eğriliğin dışındadır.   içinde oturan   alt manifoldu yolu üzerinde bağımlı değildi.*  in jeodeziklerinin sıfır jeodezik eğriliği var, bunun söylenene eşdeğeri bu   ifadesi   tanjant uzaya ortogonaldir*Öte yandan normal eğrilik altmanifold çevre uzayda yatar kadar sıkı sıkıya bağlıdır, fakat marjinal bir eğri üzerinde   yalnızca altmanifold üzerinde nokta üzerinde bağlıdır ve  ,yönü ama   üzerinde değil*Genel Riemannian geometrisinde,türev çevre manifoldu   in Levi-Civita bağlantısı hesabı için kullanılır : .Bu, alt-manifoldu bir teğet bölümü ve bir doğal parçası halinde böler:  .   içinde   teğet kısmı olağan türevidir (bu Gauss-Codazzi denklemleri Gauss denkleminin özel bir durumudur.), eğer normal kısım   ise burada   ikinci temel form olarak ifade edilir.
  • Gauss–Bonnet teoremi.

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle