karmaşık düzlem içinde Klein'ın j-değişmezi

Matematikte, Klein'ın j-değişmezi, bir  τ karmaşık değişkenin bir foksiyonu olarak sunulur,bir için karmaşık sayıların üst yarı-düzleminde sıfır ağırlığın bir modüler fonksiyonu olarak tanımlanır.Eşsiz böyle bir işlevi olan zirvede basit bir kutuptan uzakta holomorfik olacak şekilde ve . in rasyonel fonksiyonu modülerdir, ve aslında tüm modüler fonksiyonları verir. Klasik olarak,j-değişmezi eliptik eğrilerin bir parametrizasyonu olarak üzerinde incelendi, ama onun ayrıca Monster grubu'nun simetrilerine sürpriz bağlantıları var (bu bağlantı canavarlaşmış ayışığı'na kaynaktır).

TanımlarEdit

J-değişmez (aşağıda   bkz.), bazı sonsuz toplamları bakımından tamamen tanımlanabilir iken, bu eliptik eğrilerin eşyapı sınıfları dikkate alınarak motive edilebilir.Her   eliptik eğri   üzerinde bir karmaşık tordur, ve böylece bir rank 2 kafesi ile eşlenebilir; yani, nin iki boyutlu kafesidir. Bu veri ile kafes içinde her paralelkenarın karşı köşesi belirlenir. Bu, karmaşık sayılar kafesle çarpılarak çıkan kafes döndürme ve ölçeklemeye karşılık gelir, eliptik eğrinin izomorfizm sınıfı korunur ve böylece biz 1 tarafından oluşturulan kafes düşünebiliriz  (burada   üstyarı-düzlemdir). Tersine, eğer şöyle tanımlarsak

 

eliptik eğriye bu kafes karşı geliyorsa   üzerine   ile Weierstrass eliptik fonksiyonları üzerinden tanımlanır,j-değişmezi ise

 

olarak tanımlanır

burada modular diskriminant  

  dır

  olarak gösterilebilen on iki ağırlığının bir modular formudur ve dört ağırlığının bir  dir, böylece onun üçüncü kuvveti ayrıca on iki ağırlığınındır. Böylece bölüm, ve bunun için   ağırlık sıfırın bir modüler fonksiyonudur, özel olarak bir meromorfik fonksiyon   ifadesi  nin hareketi altında değişmezdir.Aşağıda açıklandığı gibi,,   örtendir, bunun anlamı o verilen   üzerinde eliptik eğrilerin bir eşyapı sınıfları arasındaki tanımlansın ve karmaşık sayılar.

Temel bölgeEdit

 
Üst yarı düzlem üzerinde hareket eden modüler grubunun temel etki alanı.

İki dönüşüm τ → τ + 1 ve τ → τ−1 birlikte bir grup üretir adına modüler grup denir, bunu biz   ile izdüşümsel özel doğrusal grup olarak olarak tespit edebiliriz.Bu gruba ait olan dönüşümün uygun bir seçimi ile, τ → (aτ + b)/(cτ + d),ad − bc = 1 ile, Biz j için aynı değeri veren ve temel bölgesinde yer alan,bir değere τ'yi indirgeyebiliriz,τ koşulları tatmin edici değerlerden oluşur ki;

 

Bu bölgeye sınırlı fonksiyonu j(τ) yine   tam bir kez karmaşık sayılar her değer alır.Başka bir deyişle, her   için, burada τ temel bölge içinde bir eşsizdir ve c=j(τ).Böylece,j tüm karmaşık düzleme temel bölgeyi haritalama özelliğine sahiptir.

Riemann yüzeyi olarak, temel bölge cins 0 var, ve her (seviye bir) modüler fonksiyonj içinde bir rasyonel fonksiyondur; ve, tersine, j içindeki her rasyonel fonksiyon bir modüler fonksiyondur.Diğer bir deyişle modüler fonksiyonların alanı  dir.

Sınıf alan teorisi ve jEdit

j-değişmezi çok dikkat çekici özelliklere sahiptir. Bunlardan biri, τ tekil modülünün herhangi biri ise, pozitif sanal bir parçası olan sanal kuadratik alanın herhangi bir öğesi (böylece j tanımlandığı gibidir), daha sonra   bir cebirsel tam sayı olmasıdır.[1] Alan uzantısı

 

bu abelyen Galois grup anlamıyla abelyendir.Biz karmaşık düzlem içinde bir kafes 1 ve τ ile tanımlarız, ve   alanının ögelerinin hepsinin görünmesi kolaydır bu bir halka ile birimlerin çarpma formu altında diğer kafes noktasına gönderir ve bir düzen denir. Aynı sırada benzer biçimde ilişkili 1 ve τ' jeneratöri ile diğer kafesler   üzerinde   nun   cebirsel eşleniğini tanımlar.   nun dahil altında eşsiz maksimal sırası   cebirsel tam sayıların halkasıdır,ve τ'nin ilişkili sıra olarak sahip olduğu değerleri  'nun dallanmamış uzatmalarına yol açabilir . Bu klasik sonuçlar karmaşık çarpımın teorisi için başlangıç noktasıdır.

Aşkın özelliklerEdit

1937 de Theodor Schneider anılan sonucu kanıtlamıştırki eğer   üst yarı düzlem j( ) içinde bir kuadratik irrasyonel sayı ise bir cebrik tam sayıdır.Buna ek olarak kanıtlanmıştırki eğer   bir cebirsel sayı ama sanal kuadratik değil ise j( ) aşkındır. j fonksiyonunun numaralı diğer aşkın özellikleri var.Kurt Mahler sanısının bu özel aşkın sonuçları Mahler sanısı olarak sıklıkla ona ithaf edilir,gerçi sonuçlarının bir doğal sonucu olarak Yu tarafından kanıtlanmıştı. V. Nesternko ve Patrice Phillipon 1990 yılında. Mahler sanısı şu idi ki eğer  üst yarı düzlemde ise exp(2πi ) ve j( ) ikisi birden asla eşzamanlı cebri değildir.Güçlü sonuçlar artık bilinmektedir, örneğin eğer exp(2πi ) cebirsel ise aşağıdaki üç sayı cebrik bağımsızdır , ve böylece aşkın:

 

q-açılımı ve ayışığıEdit

jnin dikkat çekici özellikleri ile q-açılımı yapmak zorundadır (Fourier serisi açılımıdır. q= exp(2πiτ))nun terimleri içinde bir Laurent serisi olarak yazılır ,bunun başlaması:

 

Unutmadan j basit bir kutup zirve vardı, böylece bu q-açılımıdır aşağıdaki q−1 terimleri yoktur.

Tüm katsayıları tam sayıdır, bunun birkaç yaklaşık tam sayılar içinde sonuçları , özellikle Ramanujan'ın sabiti:  .

AyışığıEdit

Daha dikkat çekici,q pozitif üslerin için Fourier katsayıları canavar grup ay ışığı modül denilen bir sonsuz boyutlu dereceli cebir gösterim kısmının boyutları - özellikle   katsayısı- ay ışığı modülünün parçası derece n in boyutudur.ilk örneği Griess cebiri 196.884 boyuta sahiptir  terimine karşılık bu şaşırtıcı gözlem ay ışığı teorisi için başlangıç ​​noktası oldu.

J.H. Conway ve Simon P. Nortonun cins-sıfır modüler fonksiyonlara bakması ayışığı varsayım çalışmasına yol açtı . Formu için normalize ise

 

ise Thompson yalnız burada şunu gösterdiki böyle fonksiyonların sonlu bir sayısı (bazı sonlu seviyelerin)sonludur, ve Cummins sonra göstermiştir ki orada tam olarak bunların sayısı 6.486 dır,bunların 616'sı integral katsayılarıdır.[2]

Diğer ifadelerEdit

Bizde

 

var burada   ve   modüler lambda fonksiyonudur.jnin değeri değişmemiş olduğundan λ Çapraz oranının herhangi altı değerinin yerinedir :[3]

 

jnin dal noktası {0,1,∞}de'dir, böylece j bir Belyi fonksiyonudur.[4]

Teta fonksiyonunun terimleri içindeki uzantılarEdit

 
 

Bu çok hızlı bir şekilde hesaplanabilir formu olan Jacobi'nin teta fonksiyonunun terimleri içinde ifade edilebilir

 

Cebrik tanımEdit

Şimdiye kadar göz önünde olan j bir karmaşık değişkenin bir fonksiyonudur. Ancak, eliptik eğrilerin eşyapı sınıfları için bir değişmez olarak, bu tamamen cebirsel tanımlanabilir. Diyelimki

 

herhangi bir alan üzerinde bir düzlem eliptik eğri olmasıdır. ise şöyle tanımlayabiliriz

 
 
 

ve

 

ikinci sentezleme eğrinin diskriminantıdır .

j-değişmezi eliptik eğri için

 

olarak şimdi tanımlanabilir

Eğri tanımlandığı alan üzerinde bir 2 ya da 3 farklı karakteristiğe sahip durumda ise, bu tanım aynı zamanda şu şekilde yazılabilir

 

Pi formülüEdit

Chudnovsky kardeşler 1987'de buldu,

 

ve aslında   kullanılır. Benzer formül için,Ramanujan–Sato serisine bakınız.

Ters ve özel değerlerEdit

j-değişmezinin ters fonksiyon hipergeometrik fonksiyon   in terimleri içinde ifade edilebilir(ayrıca bak Picard–Fuchs denklemi makalesi). açıkça,  için çözümü denklemi içinde,

 

ise N biliniyor,diyelimki  herhangi kök olsun,

 

ise,

 

τ bir kök verir, ve diğer verilen 1/τ, ama oysa  , ise o bir fark yapmaz bu   seçimdir. Alternatif olarak, olarak hatırladığım,

 

burada   ve   modüler lambda fonksiyondur.Bir bilinmeyen olarak, bir can find   by solving the cubic in x içinde, ise kuadratiktir. İse,

 

  nın altı herhangi değeri için Onların tersinme oranları sınırsız halde olsa bile eliptik fonksiyonların periyotları yüksek hassasiyetli hesaplamalar sağlayan etkinleştirme yoluyla uygulamalarla son derece alakalıdır.Bununla ilgili bir sonuç büyüklükler sanal eksenin noktalarında j nin değerlerinin ikinci dereceden kökleri ile ifade edilebilir olduğundan 2'nin kuvvetleridir (böylece pusula ve cetvel inşaatlarına izin ). Bir ikinci sonuç dolayısıyla seviye 2 nin pek belirgin modüler denklemi kübiktir.

  de temel domenin j-değişmezi "köşede" kaybolur.Burada birkaç özel değerler (bunun yalnızca ilk dördü iyi biliniyor; aşağıdakiler içinde, j anlamı J/1728 boyunca):

 

KaynakçaEdit

  1. ^ Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 106. Springer-Verlag. s. 339. ISBN 0-387-96203-4. Zbl 0585.14026. 
  2. ^ Cummins, C.J. (2004). "Congruence subgroups of groups commensurable with PSL(2,Z)$ of genus 0 and 1". Exp. Math. 13 (3), s. 361–382. ISSN 1058-6458. Zbl 1099.11022. 
  3. ^ Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, s. 110, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 
  4. ^ Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts, 79, Cambridge: Cambridge University Press, s. 267, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001