Hermit polinomları

Matematik'te,Hermite polinomları olasılık içinde Edgeworth serisi olarak ortaya çıkan bir klasik ortogonal dizi'dir; kombinatorik içinde, bir örneği umbral hesap'a uygun bir Appell dizisi'dir.Gaussian dördün sayısal analizinde; ve Fizik'te kuantum harmonik osilatör'ün özdurum'larını verir . Ayrıca Gaussian gürültü'nün nonlineer işlemleri ile bağlantılı olarak sistem teorisinde kullanılmaktadır.[1] Şablon:Harvard alıntıtxt [2] tarafından daha önce incelenmiş olmasına rağmen adını veren Charles Hermite (1864)'tir.

TanımDüzenle

Hermite polinomlarının normalleştirilmesinin iki farklı standart yolu vardır:

 

("olasılıkçıların' Hermite polinomları")dır., ve

 

("fizikçilerin' Hermit polinomları")dır. Bu iki tanım tam olarak eşdeğer değildir; ya da diğer bir yeniden ölçeklendirme

 

Burada Hermit polinomal dizisinin farklı bir varyansı vardır,varyansın ürünleri aşağıdadır. standart kaynaklarda gösterim olarak He ve H Şablon:Harvard alıntıs ve Abramowitz & Stegun. Bu Hen polinomlar bazen Hn ile ifade edilir, özelliklerde olasılık teorisinde,çünkü

 

olasılık yoğunluk fonksiyonu için normal dağılım ile beklenen değer 0 ve standart sapma 1'dir.

 
ilk altı(olasılıkçı') Hermit polinomu Hen(x).

Ilk on bir olasılıkçı 'Hermit polinomları:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ilk altı (fizikçi') Hermit polinomu Hn(x).

ve ilk on bir fizikçi 'Hermit polinomları:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ÖzelliklerDüzenle

Hn polinomunun derecesi n dir. olasılıkçı' versiyon He nin başkatsıyısı 1, fizikçi' versiyon H nin başkatsayısı 2ndir.

OrtogonaliteDüzenle

Hn(x) ve Hen(x) n = 0, 1, 2, 3, .... için ninci-derece polinomlardır. Burada ağırlık fonksiyonu nun ortogonal polinom'ları sırasıyla (ölçüm)

    (He)

veya

    (H)

dır.,

 

eğer m ≠ n.ayrıca,

    (olasılıkçı)

veya

    (fizikçi).

olasılıkçı polinomları standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonu açısından böylece ortogonaldir.

TamlıkDüzenle

(olasılıkçı veya fizikçi)Hilbert uzayı'nda ortogonal bazdaki bir formu karşılayan fonksiyonun Hermit polinomları

 

önceki bölümde tanımlandığı gibi Gauss ağırlık fonksiyonu w (x) de dahil olduğu İntegral tarafından verilen iç çarpım

 

L2(Rw(x) dx) için ortogonal temelde bir tam ortogonal sistem'dir.Bir ortogonal sistemi için tamlık, sistemdeki tüm ƒ ∈ L2(Rw(x) dx) fonksiyonlarının sadece 0 fonksiyonuna ortogonal olmasıdır..Hermite polinomların lineer açıklıklı tüm polinomların alanı olduğundan,(fizikçi durumu için) ƒ den elde edildiğini gösterilmesi gerekir.

 

her n ≥ 0 için,o zaman ƒ = 0. tam fonksiyon'u görebilmenin tek olası yolu

 

her t için gerçek anlamda aynı şekilde ortadan kaybolur.Aslında F(it) = 0 ƒ(x) exp(−x2)'ın Fourier dönüşümü 0'dır,bu nedenle hemen hemen heryerdeƒ 0 'dır. yukarıdaki eksponansiyel bir azalma ile diğer ağırlıkların tamlık kanıtı geçerli varyantıdır.Hermit durumu içinde,tamlık anlamına geldiği kanıtlanmasıda ayrıca mümkündür (bakınız "tamlık ilişkisi" aşağıda).

Aslında Hermit polinomlarının bir eşdeğer formülasyonu L2(Rw(x) dx) için ortogonal bazdır Hermit fonksiyonlarının (aşağıya bakınız) tanıtımı, ve Bu Hermite fonksiyonları söyleyerek bir L2(R) için ortonormal bazdır.

Hermit diferansiyel denklemiDüzenle

Olasılıkçı' Hermit polinomlarının çözümü olan diferansiyel denklem

 

burada λ bir sabittir.,sınır koşullarına sahip olan u polinomları sonsuzda sınırlı olmalıdır. Bu sınır koşulları ile,λ yalnızca bir non-negatif tam sayı olduğunda denklemin çözümü vardır, ve yukarda genel bir ölçekleme, u(x) = Hλ(x) tarafından verilen benzersiz bir çözümdür.Bir özdeğer problemi'nin yeniden yazılan diferansiyel denklemi

 

Diferansiyel operatör Lnin özfonksiyonu'nun çözümüdür . Bu özdeğer problemi Hermite denklemi olarak adlandırılır, aynı zamanda denklemle yakından ilişkili ayrıca kullanılan terim bu denklem için kullanılmasına rağmen

 

'Hermite polinomlarının fizikçi çözümleridir. Daha genel sınır koşulları ile, Hermite polinomları daha genel analitik fonksiyon kullanılarak elde edilip genelleştirilebilir λ için Hλ(z) bir karmaşık indekstir bir kontur integral Courant & Hilbert 1953 terimleri içinde açık formül verilebilir.

Özyineleme ilişkisiDüzenle

Hermite polinomları dizisi ayrıca özyineleme'den elde edilir

  (olasılıkçı)
  (fizikçi )

Hermite polinomları bir teşkil Appell dizisi teşkil eder,diğer bir deyişle Bu eşitliği içeren bir polinom dizisi vardır

  (olasılıkçı)
  (fizikçi)

veya özdeşlik,

  (olasılıkçı)
  (fizikçi)

(Bu son iki eşitliğin denkliği açık olmayabilir, ama rutin bir deneme ile eşitlik kanıtlanabilir). Bu Hermite polinomları da karşılayacak olan şu yineleme ilişkisi

  (olasılıkçı)
  (fizikçi)

H0(x) ve H1(x) ön polinomları ile birlikte bu son ilişki ile, uygulamada polinomlar hızlı bir şekilde hesaplanabilir.

Aşağıdaki Turan eşitsizliği'dir:

 

Daha ötesi,aşağıdaki çarpma teoremi dahilinde:

 

Açık ifadesiDüzenle

Fizikçi' Hermit polinomlarının açık ifadesi yazılabilir

 

n çift fonksiyon değerleri için

 

n. tek değerleri içindir.Burada iki denklem birleştirilerek belki bir zemin fonksiyonu elde edilebilir:

 

olasılıkçı' Hermite polinomları He benzer formülü var,2x 'ın kuveti (√2)x ile ilgili kuvvet ile değiştirilerek belki bundan elde edilebilir, ve 2-n/2 taplamı tarafından tam çarpım toplamı benzer bir formül olasılıkçı 'Hermite polinomları He ile ilgili, (√2)x kuvveti ile 2x kuvveti değiştirilmesi, ve 2-n / 2 ile çarpılması suretiyle elde edilen 2-n/2 toplamı tarafından tam çarpımı ile temin edilebilir. üstel üreteç fonksiyonu tarafından verilen Hermit polinomları

  (olasılıkçı)


  (fizikçi).

Bu eşitlik bütün x, t karmaşık değerleri içindir , ve x 'ın Tam fonksiyon z → exp(−z2) (fizikçiler durumu) Taylor açılımı yazılarak ile elde edilebilir. (fizikçi) Cauchy's Integral Formülü tarafından kullanılan üreteç fonksiyonu Hermite polinomlarından türetilerek yazılabilir

 

Bu sum   içinde kullanılıyor,bir rezidü hesabı kullanılarak geri kalan entegral değerlendirilir ve istenilen üreteç fonksiyonuna ulaşılır.

Beklenen değerDüzenle

Eğer X bir normal dağılım'la bir rastgele değişken birlikte standard sapma 1 ve beklenen değer μ ise

  (olasılıkçı)

Asimptotik açılımDüzenle

Asimtotiklik,  ile sonsuza gitme eğilimindedir, açılımı

  (physicist[3])

geçerlidir. Değerlendirilmesi daha geniş bir yelpaze ile ilgili bazı durumlarda,için bir faktör dahil edilmesi gereklidir

 

Bunu daha basitleştirilmiş için,limit içinde Stirling' yaklaşımı kullanılabilir

 

Bu açılım yazışma ilkesinin limit klasik yaklaşımı ile uyumlu olan kuantum harmonik osilatör dalgası fonksiyonunun çözümü için gerekir. Hassas bir yaklaşım[4],sıfıra yakın köşesi bu düzensiz aralıklar göz önüne alınmalıdır ,   için yerine koymada  dan yararlanılır, birlikte bunun için tektip yaklaşım

 

tekdüze ve geçiş bölgesi için benzer yaklaşımlara sahiptir.özellikle, eğer   için   ise

 

eğer   ile   için karmaşık ve sınırlı ise

 

burada   ilk tür Airy fonksiyonu'dur.

Diğer fonksiyonlara İlişkileriDüzenle

Laguerre polinomlarıDüzenle

Laguerre polinomları Hermite polinomlarının özel bir durumu olarak ifade edilebilir.

  (fizikçi)
  (fizikçi)

Konfluent hipergeometrik fonksiyonlar ile İlişkisiDüzenle

Hermite polinomları parabolik silindir fonksiyon'ları ile ifade edilebilir.

  (fizikçi)

burada   Whittaker konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur. Aynı şekilde,

  (fizikçi)
  (fizikçi)

burada   Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur.

UygulamalarDüzenle

Hermit fonksiyonlarıDüzenle

Fizikçilerin 'polinomları Hermite fonksiyonları olarak tanımlanabilir.

 

Bu fonksiyonları ağırlığı fonksiyonunun kare köküdür ve uygun biçimde ölçeklenerek , elde edilen birbirine dik fonksiyonları:

 

ve bu L2(R) formu ortonormaldir. Bu gerçek Hermite polinomları için karşılık gelen ifadeye (yukarıya bakınız) eşdeğerdir. Hermite fonksiyonları Whittaker fonksiyonu ile yakından ilişkilidir (Whittaker and Watson, 1962)  :

 

ve böylece parabolik silindir fonksiyonu ile de ilişkilidir.Hermite fonksiyonlarına karşı gelen diferansiyel denklem:

 

Bu denklem bir kuantum mekaniği harmonik osilatörü için Schrödinger denklemi'ne eşit bir denklemdir,böylece bu fonksiyonların özfonksiyonları vardır.

 
Hermite functions 0 (black), 1 (red), 2 (blue), 3 (yellow), 4 (green), and 5 (magenta).
 
Hermite functions 0 (black), 2 (blue), 4 (green), and 50 (magenta).

ÖzyinelemeDüzenle

Aşağıda Hermit polinomlarının özyineleme ilişkisi,Hermite fonksiyonlarına uyar

 

yanı sıra

 

Cramér eşitsizliğiDüzenle

Aşağıda Hermite fonksiyonlarını karşılayan ilişkisi Harald Cramér[5][6]

 

gerçek x için,burada K sabit ve 1.086435'dan küçüktür.

Fourier dönüşümünün Hermit fonksiyonu özdeğerleriDüzenle

sürekli Fourier dönüşümü'nün özdeğerler kümesi Hermit fonksiyonu  dur.Burada,üreteç fonksiyonunun fizikçi versiyonu alınır ve exp(−x 2/2) ile çarpılır. şunu verir

 

Fourier dönüşümünün birimsel gösterimi seçimi, sol tarafının Fourier dönüşümü tarafından verilen

 

Sağ tarafında Fourier dönüşümü tarafından verilen

 

sol- ve sağ-tarafta verilen dönüşüm versiyonunun t katına eşit

 

Hermit fonksiyonu   burada L2(R)'nin ortonormal bazında diyagonalleştirilmiş Fourier dönüşüm operatörüdür.Fourier dönüşümünün birim versiyonu seçimi durumunda özdeğer'ler  (−i) n dir.

Katsayıların Kombinatoryal yorumlanmasıDüzenle

Hermite polinomları içinde Hen(x) varyansı 1 için,xk katsayısının mutlak değeri(sırasız) k tekil ve (nk)/2 (sırasız) çiftlerinin içinde n-üyeli küme bölümlerinin sayısıdır. Katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı tekil ve çift bölümlerin toplam sayısını verir,ve sözde telefon numarası olarak adlandırılır

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (OEIS'de A000085 dizisi).

Bu rakamlar,aynı zamanda Hermite polinomların özel bir değer olarak ifade edilebilir

 [7]

Tamlık ilişkisiDüzenle

Hermite polinomlarının okunması için Christoffel–Darboux formulü

 

Ayrıca, aşağıdaki özdeşlik dağılım duyarlılığıdır.

 

burada δ Dirac delta fonksiyonu'dur, (ψn) the Hermite fonksiyonudur, ve R2'de y = x doğrusu için Lebesgue ölçümü'nün gösterimi δ(x − y)'dir ,böylece yatay eksen izdüşümünün normalizasyonu olağan Lebesgue ölçümüdür.Mehler's formülü içindeu → 1 için bu özdeşliğin dağılımsal özelliği aşağıda ,−1 < u < 1 olduğunda geçerli:

 

aşağıdaki sıklıkta eşdeğerlik belirtilmektedir

 

Gaussian ölçümü için yoğunluk R2 de (xy → E(xyu) dir., eğer u 1 yakınlığındaysa, y = x doğrusu çevresinde çok yoğun,ve sıklıkla bu hat üzerinde serpilmiştir.. Aşağıda

 

ƒ, g sürekli ve sıkışık destekliyse,Hermit fonksiyonundan ƒgösterimi ile yararlanılabilir, L2(R) içinde vektörler serisinin toplamı, yani

 

E(xyu) için yukarıdaki eşitlik kanıtlamak için,Gaussian fonksiyon'un Fourier dönüşümü'dür. birkaç sıra sonra,

 

sonra Hermite polinomu olarak ifade edilir

 

Hn(x) ve Hn(y)'in gösterimi ile ve tek bir ifade olduğu görülür.

 

ve bu yerine koyma gerçekleştirildikten sonra tekrar Gauss çekirdeğinin Fourier dönüşümü kullanılarak, istenilen sonucu gösterilebilir.

 

Mehler formulünün tamlık kanıtı N.Wiener çifti ileThe Fourier integral and certain of its applications içindedir. Cambridge Univ. Press 1933 reprinted Dover 1958

Ayrıca bakınızDüzenle

NotlarDüzenle

  1. ^ C. Hermite: Sur un nouveau développment en série de fonctions C. R Acad. Sci. Paris 58 1864 93-100; Oeuvres II 293-303
  2. ^ P.L.Chebyshev: Sur le développment des fonctions a une seule variable Bull. Acad. Sci. St. Petersb. I 1859 193-200;Oeuvres I 501-508
  3. ^ Abramowitz, p. 508-510, 13.6.38 and 13.5.16
  4. ^ Şablon:Harvard alıntınb
  5. ^ Şablon:Harvard alıntınb
  6. ^ Şablon:Harvard alıntınb
  7. ^ Banderier, Cyril; Bousquet-Mélou, Mireille; Denise, Alain; Flajolet, Philippe; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generating functions for generating trees", Discrete Mathematics, 246 (1-3), ss. 29–55, arXiv:math/0411250 $2, doi:10.1016/S0012-365X(01)00250-3, MR 1884885 .

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle