Green fonksiyonları

Green fonksiyonları, matematikte homojen olmayan diferansiyel denklemlerin, istenen sınır koşulları altında çözülmesinde kullanılan bir yöntemi ve bu yöntemle ilişkili olarak hesaplanan fonksiyonu belirtmekte kullanılır. İlk kez matematikçi George Green tarafından kullanılmıştır.

Eğer bir nokta kaynağa tabi bir ${\textstyle G(x,x')}$ diferansiyel denkleminin çözümü biliniyorsa ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ ve diferansiyel operatör ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ doğrusaldır, daha sonra genel bir kaynak ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$ için ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ çözümünü oluşturmak için bunları üst üste koyabiliriz.

Tanımı ve kullanımları

Bir Green fonksiyonu, G(x, s) ve Rⁿ Öklid uzayının bir alt kümesi üzerinde bir lineer differansiyel operatör L = L(x) dağılım'ın hareketi olmak üzere, bir s noktasındaki herhangi bir çözümüdür.

   

$LG(x,s)=\delta (x-s)$

(1)

   

burada $\delta$ Dirac delta fonksiyonu'dur. Green fonksiyonunun bu özelliği form diferansiyel denklemleri çözmek için yararlanılabilir.

   

$Lu(x)=f(x).$

(2)

   

Eğer L'nin çekirdek'i önemsiz değilse, sonra Green fonksiyonu da benzersiz değildir. Ancak, uygulamada,simetrinin bir bileşimi, sınır koşulları ve/veya diğer harici olarak empoze edilen kriterler benzersiz bir Green fonksiyonunu verecektir. Ayrıca, genel olarak Green fonksiyonlarının dağılımları vardır, mutlaka doğru fonksiyonlardır.

Green fonksiyonları da dalga denklemlerinin çözümünde yararlı bir araçtır, difüzyon denklemlerinin, ve kuantum mekaniğindeki, Green fonksiyonu Hamiltonyende anahtar bir kavramdır bununla birlikte durum yoğunluğuylada önemli bağlantıları var, Bir yan not olarak, fizikte kullanılan Green fonksiyonlarının genellikle ters işareti ile tanımlanır; yani,

$LG(x,s)=-\delta (x-s).$

Bu tanım, Green fonksiyonunun özelliklerini önemli ölçüde değiştirmez.

$G(x,s)=G(x-s).$

Bu durumda,Green fonksiyonlarının lineer zamanla değişmeyen sistem teorisindeki impuls cevabı aynıdır.

Homojen olmayan sınır değer problemlerinin çözümü için Green fonksiyonları

Matematikte Green fonksiyonunun birincil kullanımı homojen olmayan sınır değer problemlerini çözmektir. Modern kuramsal fizik, Green fonksiyonları da genellikle Feynman diyagramları (ve ifade Green fonksiyonu genellikle herhangi bir korelasyon fonksiyonu) için kullanılır) Yayıcılar olarak kullanılmaktadır.

Çerçeve

L, Sturm–Liouville operatorü olmak üzere, şeklinde lineer diferansiyel operatör

$L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)$

ve D, sınır koşulu operatörü olmak üzere

$Du={\begin{cases}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{cases}}$

f(x) [0,l] aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere. Ayrıca varsayılan problem

${\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}$

düzenli (homojen) problem için, yalnızca önemsiz çözüm var).

Teorem

Burada tek ve yalnız tek çözümü karşılayan u(x)'dir.

${\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}$

ve bu verilir

$u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds$

buradaki is koşulları sağlayan bir Green fonksiyonu G(x, s) aşağıdadır:

1. G(x, s) x ve s için süreklidir
2. $x\neq s$için, $LG(x,s)=0$
3. $s\neq 0$için, $DG(x,s)=0$
4. Türev "jump": $G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s)$
5. Simetri: G(x, s) = G(s, x)

Örnekler

Helmholtz denkleminin çözümüne ilişkin Green fonksiyonları şöyledir:

$G(x,y)={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x-y|)\quad x\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{y\}$

$G(x,y)={\frac {e^{-ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}}\quad x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \{y\}$

Notlar

• Bu sayfanın 5 Ağustos 2010 tarihli içeriği Green'in fonksiyonu sayfasından alınmıştır.

Ayrıca bakınız

• Ayrık Green fonksiyonları ile graf tanımı ve gridler.
• Feynman Yayıcısı
• Green eşitliği
• Impulse cevabı, sinyal işlemede bir Green fonksiyonu analoğu
• Keldysh biçimciliği
• Spektral kuramı