Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir (OEIS'de A122045 dizisi).

Burada , hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:

Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

ÖrneklerDüzenle

Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, (OEIS'de A028296 dizisi) değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1385
E10 = -50 521
E12 = 2702765
E14 = -199 360 981
E16 = 19391512145
E18 = -2 404 879 675 441

Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir (OEIS'de A000364 dizisi). Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüllerDüzenle

İkinci tür Stirling sayılarıDüzenle

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.[1][2]

 
 

Burada   ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve   yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

Çift toplamDüzenle

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.

 
 

Yinelemeli toplamDüzenle

Euler sayıları için açık bir formül:[3]

 

Burada i, i2 = −1 ile hayali birimi göstermektedir.

Bölümlerin toplamıDüzenle

Euler sayısı E2n, 2n'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.[4]

 

2n − 1'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,[5]

 

Her iki durumda da K = k1 + ··· + kn ve

 

çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, ks üzerindeki toplamları sırasıyla 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n ve k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1.

Örnek olarak,

 

DeterminantDüzenle

E2n determinant tarafından verilmektedir.

 

İntegralDüzenle

E2n ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:

 

KongrüanslarDüzenle

W. Zhang,[6] herhangi bir asal   için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.

 

W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir   asal ve   tam sayı için,

 

burada  , Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşımDüzenle

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

 

Euler zikzak sayılarıDüzenle

Taylor serisi  

 

An ile başlayan Euler zikzak sayıları

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS'de A000111 dizisi)

Hepsi için n,

 

burada En Euler sayısıdır; ve tüm tek n için,

 

Bn Bernoulli sayısıdır.

Her n için,

 

KaynakçaDüzenle

  1. ^ Jha, Sumit Kumar (2019). "A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number". Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 8 (4): 385-387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389. 31 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021. 
  2. ^ Jha, Sumit Kumar (15 Kasım 2019). "A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind". 16 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  3. ^ Tang, Ross (11 Mayıs 2012). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF). 9 Nisan 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  4. ^ Vella, David C. (2008). "Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers". Integers. 8 (1): A1. 1 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021. 
  5. ^ Malenfant, J. (2011). "Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers". arXiv:1103.1585 $2. 
  6. ^ Zhang, W.P. (1998). "Some identities involving the Euler and the central factorial numbers" (PDF). Fibonacci Quarterly. 36 (4): 154-157. 13 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021. 

Dış bağlantılarDüzenle