Eski kuantum teorisi

Modern kuantum (nicem) mekaniğinden önce gelen eski kuantum (nicem) kuramı, 1900 ile 1925 yılları arasında elde edilen sonuçların birikimidir. Bu kuramın, klasik mekaniğin ilk doğrulamaları olduğunu günümüzde anladığımız bu kuram, ilk zamanlar tamamlanmış veya istikrarlı değildi.[1] Bohr modeli çalışmaların odak noktasıydı. Eski kuantum döneminde, Arnold Sommerfield, uzay nicemlenimi olarak anılan açısal momentumun (devinimin) z-bileşkesinde nicemlenim yaparak önemli katkılarda bulunmuştur.[2] Bu katkı, electron yörüngelerinin dairesel yerine eliptik olduğunu ortaya çıkarmıştır ve kuantum çakışıklık kavramını ortaya atmıştır. Bu kuram, electron dönüsü hariç Zeeman etkisini açıklamaktadır.

Ana araç Bohr-Sommerfeld kuantizasyonudur (nicemlenimidir). Bu da izin verilen durumlarda klasik tümlevlenebilir hareketin durumlarının belirli ayrık takımlarını seçme prosedürüdür. Bunlar Bohr atom modelinde izin verilen yörüngeler gibidir. Bu kuram kaotik hareketleri genişletmemektedir.

Temel İlkelerDüzenle

Eski kuantum kuramındaki temel fikir, nicemlenmiş veya ayrık bir atomik sistemdeki harekettir. Bu sistem bütün hareketler hariç olmak üzere klasik mekaniğe uymaktadır. Eski kuantum kuramına uyan hareketler;

 

Denklemde,   sistemin momentum (devinimi) ve   de karşılık olan koordinatlardır (konsayılardır). Kuantum sayısı olan   bir tam sayıdır ve  sabit enerjili hareketin bir periyodunda tümlevlenir (integrali alınır). Bu tümlev, faz uzayındaki etki olarak adlandırılan ve birimi Planck sabiti olan bir alandır. Bu nedenle, Planck sabiti kuantum etkisi olarak da geçmektedir.

Eski kuantum durumlarının bir anlam ifade edebilmesi için klasik hareketin ayırt edilebilir olması gerekmektedir. Bunun anlamı   ayrık koordinatlarının hareketinin periyodik olduğudur. Farklı hareketlerin periyotlarının aynı olması gibi bir zorunluluk yoktur. Hatta bu hareketler kıyaslanamaz bile olabilir. Fakat çoklu periyodik yöntemde hareketi çürüten bir grup koordinat olmak zorundadır.

Eski kuantumum şartı karşılılık ilkesidir. Fiziksel gözlemler göstermiştir ki nicemlenmiş miktar adiyabatik değişmiş olmalıdır. Uyumlu salıngaç için geçerli olan Planck nicemlenimi (kuantizasyonu) kuralı,   genel bir sistemde, toplanır sabite kadar olan herhangi bir durumu doğrular nitelikte olan klasik bir değeri nicemler.

ÖrneklerDüzenle

Uyumlu Salıngaç (Harmonik Osilatör)Düzenle

Eski kuantum kuramındaki en basit sistem uyumlu (harmonic) salıngaçdır. Bunun Hamiltonyan'ı;

 

Bu  denklemde,  ’nin gruplarının seviyesi yörüngelerdir ve buradaki kuantum (nicem) durumu faz boşluğunda, bir yörünge tarafından kapatılmış alandır ve bu alan bir tam sayıdır. Planck kuralına göre, enerji nicemlenir;

 

Bu sonuç önceden de oldukça iyi bilinmekteydi ve eski kuantum şartını formulüze etmek için kullanılmıştır. Bu sonuç kuantum mekaniğinin yardımlarıyla bulunan     ile farklılık gösterir. Bu sabit, eski kuantum kuramının türetimlerinde (türev almalarında) yok sayılırdır ve sabitin değeri bu kullanılarak belirlenemez.

Nicemlenmiş bir salıngaçın (osilatörün) ısısal (termal) özellikleri Boltzmann ağırlığı ile bağlanmış olduğunu varsaydığımız her bir ayrık durgunun emerjilerinin ortalaması alınarak bulunabilir.

 

Bu denklemde  , Boltzmann sabitinin mutlak sıcaklıkla çarpımıdır. Buradaki sıcaklık daha çok enerjinin doğal birimlerinde ölçülür. Termodinamikte (Isı Devinimde)   miktarı sıcaklıktan daha temeldir çünkü   enerjiyle ilişkili termodinamik (Isı Devinim) potansiyelidir (gerilimidir).

Bu ifadeden anlaşılacağı üzere, kolaylıkla görülür ki büyük   değerlerinde, çok düşük sıcaklıklar için olmak kaydıyla, Harmonik osilatördeki (Uyumlu Salıngaç) ortalama enerji süratle sıfıra yaklaşır ve bu durum üssel (eksponent) olarak hızlıdır. Bunun arkasında yatan sebep ise kT’nin bir T sıcaklığında rastgele seçilmiş olan bir hareketteki kendine özgü enerji olmasıdır. Ayrıca   ,   ’dan küçük olduğunda, ortamda salıngaca verilecek bir kuantum enerjisi bile yeterli derecede olmaz. Dolayısıyla salıngaç taban durumunda kalmaya devam eder. Bunun anlamı, çok düşük sıcaklıklarda betaya göre enerjideki değişim veya eşit bir biçimde sıcaklığa göre enerjideki değişim üssel olarak küçüktür. Sıcaklığa göre enerjideki değişim öz ısıdır. Dolayısıyla öz ısı, düşük sıcaklıklarda üssel olarak küçüktür ve sıfıra doğru aşağıdaki gibi gitmektedir;

 

Küçük   değerlerinde ve yüksek sıcaklıklarda, ortalama enerji (U)  ’ye eşittir. Bu klasik termodinamiğin eşbölüm kuramını tekrar gündeme getirmektedir. Bu kuram “Bir T sıcaklığında,her uyumlu salıngacın kT enerjisi vardır ve bu enerji ortalamadadır” der. Bunun anlamı, klasik mekanik de herhangi bir salıngacın öz ısısı sabittir ve k’ya eşittir. Yaylarla bağlanmış bir atom toplamı için, makul bir katı modeli olmak kaydıyla, toplam öz ısı toplam salıngaç sayısının k ile çarpımına eşittir. Örnek vericek olursak toplmada her atom için üç salıngacın olduğu bir yerde 3 boyutda bağımsız salıngaçlar için 3 olası yön vardır. Dolayısıyla klasik bir katının öz ısısı her zaman atom başına 3k’dır veya Kimya birimleriyle açıklayacak olursak bir mol atom için 3R’dır.

Oda sıcaklığında, tek atomlu katılar yaklaşık olarak atom başına 3k ile aynı öz ısıya sahiptirler. Fakat bu durum düşük sıcaklıklarda geçerli değildir.  Daha düşük sıcaklıklarda öz ısı da daha küçüktür ve sıfıra doğru gitmektedir. Bu bütün materyal sistemleri için doğrudur ve bu gözlem termodinamiğin üçüncü yasası olarak bilinir. Klasik mekanik üçüncü yasayı açıklayamaz çünkü klasik mekanikde öz ısı sıcaklıktan bağımsızdır.

Klasik mekanik ve soğuk malzemelerin öz ısısı arasındaki bu çelişkiyi 19.yüzyılda James Clerk Maxwell dikkate almıştır. 1906’da Albert Einstein bu problemi atomic hareketin nicemlenmiş olduğunu ileri sürerek yeniden çözmüştür. Bu kuantum kuramının mekanik sistemlere uyarlanmış ilk uygulamasaydı.

Çok kısa bir süre sonra, Peter Debye katıların öz ısıları hakkında ortaya nicel bir kuram sunmuştur.

Tek Boyutlu Potansiyel (Gerilim): U=0Düzenle

Tek boyutlu problemlerin oldukça basittir. Herhangi bir   enerjisinde,   momentum (devinim) değeri aşağıdaki formülle bulunabilir;

 

Momentumun (Devinimin) ortadan kaybolduğu yerde, klasik dönüm noktaları arasındaki bütün   değerleri tümlenmiştir. Uzunluğu   kadar olan bir kutudaki parçacık için bu integral en kolay halindedir ve formül şu şekilde olur;

 

Bu formül bize momentumu da vermektedir;

 

Ve son olarak enerji seviyeleri

 

Tek Boyutlu Potansiyel (Gerilim): U=FxDüzenle

Eski kuantum kuramı ile kolayca çözülebilen bir başka husus ise pozitif (artı) yarı yoldaki doğrusal gerilimdir (lineer potansiyel). Buradaki olay girilemez bir duvara sabit ve sınırlı bir   kuvvetli parçacığı bağlamaktır. Bu husus kuantum mekaniksel işlemlerde çok daha zordur. Ayrıca diğer örneklerin aksine burada kısmen klasik cevaplar kesin olmayan yaklaşık cevaplardır ve büyük kuantum numaralarında daha kesin olmaktadır.

 

dolayısıyla kuantum durumu şu şekilde olur;

 

Bu denklem enerji seviyelerini açıklar;

 

F=mg özel durumunda ise parçacık dünyanın yerçekimi potansiyeli tarafından sınırlandırılmıştır. Ayrıca burada "duvar" olarak yeryüzü kastedilmektedir.

Döner (Rotator)Düzenle

Bir başka basit sistem ise dönerdir. Bir döner, iki boyutta kütlesiz R uzunluğundaki sabit bir çubuğun ucunda M kadar kütle ihtiva ettiğinde, bu dönerin Lagrangian'ı;

 

olur ve bu denklem polar (kutuplu)  , açısı ile eşlenik olan açısal momentumu   (devinimi)açıklar. Buna göre açısal momentum formülü  . olarak tanımlanır. Eski kuantum durumu, açısal momentumun   açısının periyodu ile çarpılmasını gerektirmektedir. Burada   açısının periyodu Planck sabitinin birden fazla tam sayısıdır.

 

Bohr modelinde bu kısıtlama dairesel yörüngelerde bulunan enerji seviyelerini açıklamayı zorlamaktadır.

3 boyutta sabit bir döner   ve   açıları ile tanımlanabilir. Burada   açısı rastgele seçilen bir z eksenindeki eğime karşılık gelirken,   açısı ise x-y ekseninde bulunan döner açısına karşılık gelmektedir. Buna göre kinetik (devimsel) enerjinin Lagrangian'ı;

 

Bu durumda eşlenik momentum   ve   olur.   için hareket denklemi belirsizdir ve   bir sabittir;

 

olur ki bu da z bileşkesinin açısal momentumudur. Kuantum durumu   sabitinin integraline (tümlevine) dayanır çünkü   açısı   ile   arasında çeşitlilik gösterir;

 

Burada m manyetik (mıknatısal duygunluk) kuantum sayısı olarak anılır çünkü açısal momentumun z bileşkesi, z ekseni boyunca dönerin manyetik momentumudur. Bu eşitlik dönerin sonunda bulunan parçacığın yüklenmiş durumlarda geçerlidir.

3 boyutlu döner bir eksen etrafında döndüğü için toplam açısal momentum, 2 boyutlu dönerde olduğu gibi sınırlandırılmalıdır.İki kuantum durumunda toplam açısal momentumu ve   gibi katsayı olan z bileşkesinin açısal momentumunu kısıtlamaktadır. Bu durum modern (günümüz) kuantum mekaniğinde yeniden türetilmiştir. Fakat eski kuantum kuramı döneminde bu durum bir paradoks (özçelişki) oluşmasına yol açmıştır. Bu paradoks " Rastgele seçilmiş bir z eksenine göre açısal momentumun yönü nasıl kuantize (nicemleme) edilebilir?"dir. Görülen o ki bu durum uzayda (boşlukda) bir yön çıkartmaktadır.

Bu fenomen bir eksen etrafında bulunan açısal momentumun kuantize edilmesi "boşluk kuantizasyonu" olarak adlandırılmıştır çünkü bu durum rotasyonel (dönüşsel) değişmezlik ile uyumsuz görünmüştür. Modern kuantum mekaniğinde açısal momentum aynı şekilde kuantize edilir fakat herhangi bir yöndeki açısal momentumun ayrık durumları diğer yönlerdeki durumların kuantum süper pozisyonudur (üstdüşümüdür). Dolayısıyla kuantizasyonun işlem süreci tercih edilen bir eksen çıkarmamaktadır. Bu nedenle "boşluk kuantizasyonu" ismi gözden düşmüş, onun yerine bu fenomen "açısal momentum kuantizasyonu" olarak anılmaya başlamıştır.

Hidrojen AtomuDüzenle

Hidrojen atomunun açısal bölümü sadece bir dönerden (rotator) ibarettir ve bu bize kuantum numaraları olan   ve  ’yi verir. Arda kalan tek değişken ise radial koordinatdır (yarıçapsal konsayı).  Toplam açısal momentum (devinimi)   kadar olan sabit bir değer için ki bu klasik bir Kepler problemidir (kütlenin ve enerjinin birimi iki sabiti soğurmak –absorbe etmek- için tekrar tanımlanmıştı), Hamiltonyan şu şekilde olur:

 

Enerjiyi sabit bir değere oturtmak ve   radial momentumu (yarıçapsal devinim) çözmek için kuantum (nicem) durumu integrali (tümlevi) aşağıdaki gibi olur:

 

Bu yalın bir denklemdir ve bize   ile bağıntılı enerjiyi tanımlayan   kuantum numarasını vermektedir.

Bu durumda enerjinin formülü aşağıdaki gibi olmaktadır:

 

Bu formül asıl kuantum sayısı  'e karşılık gelen   ve  ’'nin toplamlarına dayanmaktadır.   pozitif (artı) olduğu için herhangi bir   değeri için   değeri  ’den büyük olamaz. Bu enerjiler Bohr modelinde yeniden tanımlanmaktadır. Fakat bu tanımlamada yüksek değerlerde bazı belirsizliklere sahip olan kuantum mekaniksel çarpanlar hariç tutulmuştur.

Kısmen klasik olan hidrojen atomu Sommerfeld modeli olarak adlandırılır ve ayrık eğimlerde bu atomun yörüngeleri farklı ölçülerde ve eliptik olur. Sommerfeld modelinin tahminine göre bir atomun manyetik momentu ancak ayrık değerler alacak bir eksen  boyunca ölçülebilir. Bunun ışığında yapılan ölçümler sonucu elde edilen bir sonuç rotasyonal değişmezlik ile çelişkili görünmüştür ama bu sonuç Stern-Gerlach deneyi ile onaylanmıştır. Bohr-Sommerfeld kuramı kuantum mekaniğin gelişiminin bir parçasıdır ve atomik enerji seviyelerinin manyetik alanlar tarafından yarılma ihtimalini tanımlayabilmektedir. 

Relativistik (Göreli) YörüngeDüzenle

Arnold Sommerfeld atomik enerji seviyelerinin relativistik (göreli) çözümlerini türeten kişidir.[3] Bu türetmeye elektrik potansiyeldeki (gerilim) enerji için relativistik denklemle başlamak gerekmektedir;

 

  değişimini yaptığımızda;

 

Momentum için  ,   eşitliğini elde ederiz ve birbirlerine oranı   olur. Bu durumda hareket denklemi (bkz. Binet Denklemi)

 

çözümüyle

 

Enberi noktasının (periapsis) açısal kayması devir başına şu şekilde olur;

 

Kuantum durumu ile ele aldığımızda

 

ve

 

Buradan enerjileri tanımlayabiliriz;

 

Bu denklemde   ince yapı sabitine denk gelmektedir. Bu çözüm Dirac denklemiyle aynıdır.[4]

De Broglie DalgalarıDüzenle

1905 yılında, Einstein kısa dalga boyları için kutu içinde kuantize olmuş elektromanyetik (akımmıknatısal) olan osilatörlerinin (salıngaç) entropisinin (dağıntı) bir gazın noktasal parçacıklarının entropisine eşit olduğunu belirtti. Noktasal parçacıkların sayısı kuantaların (nicem paketlerinin) sayısına eşittir. Einstein bu kuantaya erişilebilir nesneler, ışık parçacıkalrı gibi davranabileceğine kanaat getirdi ve foton (ışıncık) olarak adlandırdı. (bkz.[5] sayfa 139/140).

Einstein'ın bu kuramsal argümanı termodinamiğe (ısıdevinimsel), durum numaralarını saymaya dayanıyordu ve tam olarak ikna edici değildi. Sonuç olarak Einstein'da ışığı hem parçacık hem de dalga olarak atfetmiştir. Daha açıkça   frekanslı (tekrarsıklık) bir durağan elektromanyetik dalga kuantize seviyesi;

 

ile her biri   enerjili n sayıda fotondan oluşmuştur. Einstein fotonların dalgalarla olan ilişkisini açıklayamamıştır.

Fotonlar enerji gibi momentumada sahiptir ve momentum   elektromanyetik dalganın dalga sayısı olmak üzere  'ya eşit olmak zorundadır. Bu göreceliliğin gereğidir çünkü momentum ve enerji frekans ve dalga sayısı olmak üzere dört vektör (yöney) oluşturur.

1924 yılında, Doktora adayı Louis de Broglie kuantum durumuna yeni bir yöntem önerdi. Elektronları da fotonlar gibi ilişkilere uyacak dalga şeklinde tanımlayabilmiştir;

 

veya dalga boyu   cinsinden yazıldığında;

 

Louis de Broglie sonrasında kuantum koşullarını şöyle belirtmiştir;

 

Klasik yörüngeyi takip eden dalga için faz değişimlerini sayar ve bu  'nin tam katı olmasını gerektirir. Dalga boyu cinsinden, klasik yörüngeyi takip eden dalga boylarının sayısı tam sayı olmak zorundadır. Bu yapıcı girişimin şartıdır ve kuantize yörüngelerin sebebini açıklar. Madde dalgaları sadece ayrık frekans ve enerjilerde durağan dalga oluşturur.

Örneğin, bir kutuda hapsedilmiş bir parçacık için bir durağan dalga duvarlarının arasındaki mesafenin iki katı dalga boyunun tam sayı katı olmak zorundadır. Bu şart aşağıdaki denklemle ifade edilir;

 

Dolayısıyla kuantize momentum;

 

olur. Eski kuantum enerji düzeylerini yeniden oluşturur.

Bu geliime Einstein tarafından daha matematiksel bir formda verilmiştir. Einstein dalgalar için faz fonskiyonunu (işlevini) şöyle belirtir:"Hamilton dahi dalga mekaniğinin kısa dalga boyu limiti (sınırı) için tanımladığı bir denklemi, mekanik bir sistemde Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümüyle tanımlamaktadır. Bu fikirler Schrödinger denkleminin keşfine yol açmıştır."

Kramers Geçiş Matrisi (Dizeyi)Düzenle

Eski kuantum kuramı sadece periyodik olan hareket açı değişkenlerine ayrılmış özel mekanik sistemler için formüle edilmiştir. Işınım salınımı veya emilimiyle ilgilenmemişti. Yine de Hendrik Kramers emilim ve salınımın nasıl hesaplanması gerektiğini sezgisel olarak tanımlamıştır. Kramer, kuantum sisteminin yörüngelerinin Fourier analizlerinin yeni harmoniklerin yörünge frekanslarını katları şeklinde ayrıştırılmasıyla analiz edilmesini önermiştir.

 

İndeks (dizin)  , yöründe kuantum numarasını tanımlar, o da Sommerfeld modelinde   olacaktır. Frekans   ,   Fourier modunun bir indeksi olmak üzere,   yeni yörüngenin açısal frekansıdır. Bohr klasik hareketin k-th harmoniğinin,   düzeyinden   düzeyine geçişine karşılık geldiğini önerir.

Kramers durumlar arası geçişi ışınımın klasik salınımına benzerliğini ki bu yörünge frekansının katlarındaki frekanslarda gerçekleşir, önermiştir. Işınım salınımının oranı   ile doğru orantılıdır. Bu klasik mekanikde de böyledir. Tanım yaklaşıktır çünkü Fourier bileşenleri düzeyler arası enerji boşlukları ile tam olarak uyuşmayan frekanslara sahip değildir. Bu düşünce matris mekaniğinin gelişmesine sebep olmuştur.

Eski Kuantum Kuramının SınırlarıDüzenle

Eski kuantum kuramı bazı sınırlamalara sahiptir:[6]

  • Eski kuantum kuramı, spektral (tayfsal) çizgilerin şiddetlerini hesaplayamamıştır.
  • Eski kuantum kuramı, müstesna Zeeman tesirini açıklayamamıştır. (Burada elektron spinleri göz ardı edilemez)
  • Eski kuantum kuramı, kaotik sistemleri kuantize edemez. Yani hareketli sistemlerin yörüngeleri ne yakındır ne periyodiktir ne de analitik form oluşturabilir.

Bu, ünlü kütle çekimsel 3-parça problemine, klasik kaotik benzeri olan 2 elektronlu atom kadar kolay sistemler için dahi sorular ortya çıkarır.[7][8]

Fakat bu, Zeeman etkisi ile tek elektrondan fazla elektronları bulunan atomları tanımlamak için kullanılabilir. Sonradan, eski kuantum kuramı aslında kaotik kuantum mekaniğinin kısmen klasik varsayımları olduğunu öne sürmüştür fakat bu sınırlar hala araştırılmaktadır.

TarihiDüzenle

Eski kuantum kuramı Max Planck tarafından ışığın salınımı ve soğurulması üzerine ortaya çıkarılmış ve Albert Einstein'ın katıların öz ısısı üzerine çalışmasından sonra dikkate alınmıştır. Einstein, daha sonradan Debye, atomların hareketinin kuantum prensiplerine uygulamış ve öz ısı anormalliklerini açıklamıştır. 1913 yılında, Bohr benzerlik prensibini tanımlamış ve çizgi tayfını açıklayan, hidrojen atomu modelini formüle etmek için kullanmıştır. Birkaç yıl içerisinde Arnold Sommerfeld gelişigüzel tümlevlenebilir sistemlerin Einstein ve Lorentz tarafından tanımlanmış kuantum sayılarının yalıtılmış değişmezliğinin prensiplerini kullanarak genişletmiştir. Sommerfeld modeli, modern kuantum mekaniğine Bohr'unkinden daha yakındır.

1910 ve 1920'li yıllar boyunca olduğu gibi birçok problem karışık sonuçlarla eski kuantum kuramı kullanılarak çözümlenmeye çalışılmıştır. Moleküler dönüşler ve titreşimler tayfı anlaşılmış ve elektron spinleri keşfedilmiştir. Bu yarım katlarda bulunan kuantum sayıları karmaşasına yol açmıştır. Max Planck sıfır nokta enerjisini tanımladı ve Arnold Sommerfeld relativistik hidrojen atomunu kısmen klasik olarak kuantize etmiştir. Hendrik Kramers, Stark etkisini açıkladı. Bose-Einstein'da fotonların doğru kuantum istatistiklerini verdi.

Kramers kuantum durumların hareketin Fourier bileşkesi cinsinden olanlarının arasındaki geçiş ihtimallerini hesaplamaya yönelik bir yönergede bulunmuştur. Bu fikir Werner Heisenberg'in işbirliği ile kısmen klasik matrise kadar genişletilmiştir. Unutulmamalıdır ki kısmen klasik matris atomik geçiş ihtimallerinin tanımına benzer. Heisenberg, bu matris mekaniğini yaratarak bütün kuantum kuramını bu geçiş matrisleri cinsinden yeniden formülize etmiştir.

1924 yılında, Louis de Broglie maddenin dalga kuramını ortaya sunmuştur. Bu kuram kısa süre sonra Albert Einstein tarafından madde dalgaları için kısmen klasik denklemler kullanılarak genişletilmiştir. 1926'da Erwin Schrödinger tamamıyla doğru olan bir kuantum mekaniksel dalga denklemi bulmuştur. Bu buluş eski kuantum kuramının başarılarını belirsizlik ve tutarsızlık olmaksızın yeniden sunmuştur. Schrödinger'in dalga mekaniği, Schrödinger ve diğer bilim insanları iki yöntemin aynı deneysel tesadüflere sahip olacağını kanıtlayana kadar matris mekaniğinden ayrı olarak gelişmiştir. Daha sonra Paul Dirac, 1926 yılında iki yönteminde daha kapsamlı bir yöntem olan dönüşüm kuramı ile elde edilebileceğini yazmıştır.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ ter Haar, D. (1967). The Old Quantum Theory. Pergamon Press. ss. 206. ISBN 0-08-012101-2. 
  2. ^ Sommerfeld, Arnold (1919). Atombau und Spektrallinien'. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7. 
  3. ^ Arnold Sommerfeld (1921). Atombau und Spektrallinien. Braunschweig.  [1]
  4. ^ Ya I Granovski (2004). "Sommerfeld formula and Dirac's theory" (PDF). Physics-Uspekhi. 47 (5). ss. 523-524. Bibcode:2004PhyU...47..523G. doi:10.1070/PU2004v047n05ABEH001885. 
  5. ^ Einstein, Albert (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (PDF). Annalen der Physik. 17 (6). ss. 132-148. Bibcode:1905AnP...322..132E. doi:10.1002/andp.19053220607. 9 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Şubat 2008. 
  6. ^ Chaddha, G.S. (2006). Quantum Mechanics. New Dehli: New Age international. ss. 8-9. ISBN 81-224-1465-6. 23 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Haziran 2014. 
  7. ^ E.A. Solov’ev, E. A. (2011). "Classical approach in atomic physics". European Physical Journal D. 65 (3). ss. 331-351. arXiv:1003.4387 $2. Bibcode:2011EPJD...65..331S. doi:10.1140/epjd/e2011-20261-6. 
  8. ^ L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. 3rd. Vol. 3. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. 

Konuyla ilgili yayınlarDüzenle