Ehrenfest paradoksu

Ehrenfest paradoksu, görelilik teorisinde “biçimi bozulmaz” bir diskin dönme hareketini ele almaktadır. Paul Ehrenfest tarafından 1909 yılında özel görelilik kapsamında Born Biçimi Bozulmazlığı kavramıyla ilişkilendirdiği özgün formülasyonunda, kendi simetri ekseni etrafında döndürülen bir ideal biçimi bozulmaz silindirden bahsetmektedir. Laboratuvar çerçevesindeki ölçümde R olan yarıçap her zaman harekete dik yönde olacağından dolayı, duran çerçevede ölçülen R0 yarıçapına eşit olmalıdır. Ancak, çevre (2πR) durmakta olandan daha küçük bir değere γ genel faktorünce Lorentz-Kısalmış olarak gözlenmelidir. Bu şöyle bir çelişkiye yol açmaktadır; R=R0 ve R<R0. Paradoks daha sonra Albert Einstein tarafından detaylıca incelendi, Einstein dış kenar çizgisi üzerine yerleştirilen ve dış kenar çizgisi ile birlikte dönen ölçüm aletlerinin kısalacağından çevre üzerine daha fazla yerleştirileceğini ve çevrenin 2πR den daha büyük görüneceğini gösterdi. Bu dönen gözlemciler için geometrinin Öklid-Dışı geometri olduğunu gösterdi ve bu gösterge Einsten’in Genel Görelilik Kuramı gelişiminde çok önemliydi. Gerçek malzemelerden yapılan içinde ses hızına yakın çapraz hız ile dönen herhangi bir biçimi bozulma nesne merkezkaç kuvvetinden dolayı Rupture noktasını aşacaktır çünkü merkezkaç basıncı malzemenin kesme katsayısını aşamaz.

${\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G$

Burada ses hızı, yoğunluk ve kesme katsayısıdır. Dolayısıyla, ne zaman ki ışık hızına yakın hızlarla bu düşünüldüğünde bu sadece düşünce deneyi olacaktır. Nötron-yozlaşmış malzemeler ışık hızına yakın hızlara olacak sağlanmaktadır çünkü, örneğin nötron-yıldız salınımlarının hızı görece düzeylerdedir, ancak bu malzemeler kesin olarak “biçimi bozulmaz” denecek türden değillerdir.

Paradoksun gereksinimleri

Sabit açısal $\omega R$. hızıyla dönmekte olan bir R yarıçaplı bir disk hayal edin. Referans çevçevesi diskin sabit kalan merkezine sabitlenmiştir. Sonrasında, diskin çevresinde herhangi bir noktanın görece hızının büyüklüğü ωR olacaktır. Dolayısıyla, çevre ${\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}$ faktöründe bir Lorentz-Kısalması’na uğrayacaktır. Ancak, yarıçap hareket yönüne dik olduğundan dolayı herhangi bir kısalmaya uğramayacaktır. Dolayısıyla

${\frac {cevre}{cap}}={\frac {2\pi R{\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}}{2R}}=\pi {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}$.

Bu paradoks oluşturan bir sonuçtur, çünkü Öklid-Geometrisine göre bu oran tam olarak π’ye olmalıdır.

Ehrenfest’in savı

Ehrenfest paradox - Circumference of a rotating disk should contract but not the radius, as radius is in perpendicular to the direction of motion.

Ehrenfest dönmek üzere yapılmış ideal bir Born-Biçimi Bozulmaz silindir varsaymıştır. Silindirin hiçbir şekilde esneyip uzamadığını veya büzülmediğini varsayarsak, yarıçapı sürekli aynı kalacaktır. Fakat 2πR lik çevre boyunca yerleştirilen ölçüm çubukları durmakta olanlara kıyasla γ faktörünce daha küçük bir değere Lorentz-Kısalmış olacaktır. Bu şöyle bir paradoksa yol açmaktadır; biçimi bozulmaz ölçüm çubukları Lorentz-Kısalmasından dolayı birbirleriyle ayrılmak durumda kalacaktır. Ehrenfest tarafından ortaya koyulan bu uyuşmazlık Born-Biçimi Bozulmaz silindirin parçalanacağını önermektedir.

Dolayısıyla, Ehrenfest Born-Biçimi Bozulmazlığı genel olarak özel görelilikle uyumlu değildir dieyip reductio ad absurdum kullanarak bir iddia ortaya koymuştur. Özel göreliliğe göre bir cisim Born-BiçimiBozulmazlığını korurken dönmeyen bir duruma bükülemez fakat böyle bir cisim sıfırdan farklı sabit bir açısal hız elde ettiğinde özel görelilikle çelişmeden Born-Biçimi Bozulmazlığını korur ve sonrasında (Einstein’in sonradan gösterdiği gibi) disk üzerindeki bir gözlemci yarıçapı $C^{\prime }={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$. olarak ölçecektir.

Einstein ve genel görelilik

Genel göreliliği geliştirirken dönen disk ve dönen diskin biçimi bozulmazlık ile bağlantısı Einstein içinde önemli bir düşünce deneyiydi. Einstein 1912, 1916, 1917, 1922 yıllarındaki birkaç yayınında bu düşünce deneyinden bahsetmektedir ve bu düşünce deneyinden dönen çerçevedeki gözlemci için geometrinin Öklid-Dışı bir geometri olduğu sonucunu çıkarmıştır. Einstein söyle yazmıştır (1922);

s. 66ff: “K'ın x'y' düzlemini merkez alan bir daire çizildiğini ve yarıçapını hayal edin. Daha da ilerisi hayal ederek, bize bir birine eşit çok sayıda biçimi bozulmaz çubuklar verildiğini varsayın. Biz bunların K' a göre sabit duracak şekilde dış kenar çizgisi ve yarıçap boyunca art arda konduğunu varsayalım. Eğer U dış kenar çizgisi boyunca bu çubukların sayısı olacak olursa, D yarıçap boyunca olanların sayısı, sonra, eğer K' K ye göre dönmüyor ise, biz şunu elde ederiz, $U/D=\pi$. Fakat eğer K' dönerse biz farklı bir sonuç elde ederiz. Varsayalım K'deki belirli bir zaman olan t de biz bütün çubukların sonlarını belirledik. K ye göre dış kenar çizgisi boyunca olan bütün çubuklar Lorentz kısalmasına maruz kalacaklar fakat yarıçap boyunca olan çubuklar bu kısalmaya maruz kalmayacaklar. Dolayısıyla bu bize şunu gösterir; $U/D>\pi$.

Buradan şöyle bir sonuç çıkmaktadır ki K' a göre biçimi bozulmaz nesnelerin düzen yasaları biçimi bozulmaz nesnelerin K e göre olan Öklid geometrisi ile uygunluk gösteren yasalarıyla uyuşmamaktadır. Eğer, daha da ileri gidersek ve aynı özelliklere sahip iki tane (K' ile birlikte dönen) saatten birisini dış kenar çizgisine birisine diğerini çember merkezine yerleştirirsek, K'nin yorumu dış kenar çizgisinde olan saatin merkezdekine göre daha yavaş olduğu olacaktır. K' için zamanı tamamen doğal olmayan yolla tanımlarsak, aynı durum K' dan yorumlandığında da olacaktır, yani K'nin yasaları direkt olarak zamana bağlı hale geleceklerdir. Dolayısıyla, zaman ve mekan K'ye göre özel görelilikte eylemsiz sistemlere göre tanımlandığı gibi tanımlanamayacak. Fakat, eşitlik prensibine göre, K' da yer çekim alanı içeren hareketsiz bir sistem olarak varsayılmalıdır. Dolayısıyla buradan biz şu sonucu çıkarmaktayız ki; yer çekimi zaman-mekan sürekliliğinin metrik yasalarını etkileyen hatta belirlemektedir. Eğer ideal biçimi değişmeyen nesnelerin düzeni geometrik olarak ifade edilirse, yer çekim alanın varlığında geometri Öklid geometrisi olmayacaktır.”

Tarihçe

• 1909: Max Born özel görelilikte biçimi bozulmayan hareket ifadesi ortaya koydu.
• 1909: Born’un biçimi bozulmama ifadesini çalıştıktan sonra, Paul Ehrenfest durağandan dönmeye başlayan bir silindir paradoksunu kullanarak geniş birçok nesnenin hareketinin Born biçimi bozulmazlığına uygun olmadığını gösterdi.
• 1910: Gustav Herglotz ve Fritz Noether bağımsız şekilde Born’un modelini incelediler ve (Herglotz-Fritz Kuramı) Born biçimi bozulmazlığının hareket halindeki nesneler için üç derece özgürlüğe müsaade ettiğini gösterdiler. Örneğin, bir biçimi bozulmaz nesnenin değişmeyen dönme hareketi göstermesi mümkündür, yine de ivmeli dönme hareketi mümkün değil. Yani Ehrenfest’in sonuçlarını onaylar şekilde, bir Born biçimi değişmeyen nesne durağan halden döner hale getirilemez.
• 1910: Max Plank dönderilme sonucu bir diskin kısalmaya uğraması probleminin disk üzerindeki gözlemcinin yapacağı ölçüm ile durağan gözlemcinin ölçümlerinin karşılaştırılması problemi karıştırılmaması gerekliliğine dikkat çekti. Plank ilk problemi çözmenin esneklik kuramını ele almayı ve biraz malzeme modeli ortaya koymayı gerektirdiğini önerdi.
• 1910: Theodor Kaluza disk üzerindeki ve durağan gözlemcilerin çevre için olan ölçümlerindeki farklılığın doğuştan gelen paradoksal hiçbir şey olmadığını işaret etti. Kaluza bunun ancak sadece bir şeyi “dönen diskin geometrisi öklid geometrisi değildir” ifade ettiğini ileri sürmektedir. Kaluza herhangi bir kanıta dayandırmadan bu geometrinin sadece hiperbolik düzlem geometrisi olması gerektiğini ileri sürdü.
• 1911: Max von Laue ivmelenen bir nesnenin sonsuz sayıda özgürlük derecesine sahip olduğunu dolayısıyla hiçbir biçimi değişmeyen nesnenin özel görelilikte var olamayacağını gösterdi.
• 1916: Genel Görelilik Kuramını yeni yazdığı zamanlarda Einstein disk üzerindeki gözlemcinin daha büyük bir çevre ölçeceğini fark etti, C′ = 2π r √(1−v2)−1. Bunun sebebi uzunluk eksenine paralel hareket eden ölçüm aletleri durağan gözlemciye daha kısa gözükecektir. Disk üzerindeki gözlemciler durağan gözlemcilere göre çevreye verilen bir uzunluğa ait daha küçük ölçüm aletleri sığdırabilmektedir.
• 1922: A.S. Eddington ufuk açan kitabı "The Mathematical Theory of Relativity" (p. 113) da dönen diskin yarıçapının (duran göre olan oranla) ‘Lorentz-kısalması’ faktörünün çeyreği çevreye etki etmektedir.
• 1935: Paul Langevin esasen şimdilerde Langevin gözlemciler olarak adlandırılan disk üzerindeki gözlemciler ailesine karşılık gelen bir hareket eden çerçeve (modern terminalojide çerçeve alanı) tanımladı. Paul ayrıca yakındaki Langevin gözlemcilerince ölçülen uzunlukların belirli Riemannian metrike, şimdilerde Langevin-Landau-Lifschitz metrik, karşılık geldiğini gösterdi.
• 1937: Jan Weyssenhoff Langevin gözlemcilerin hiperyüzey dik olmadığın fark etti. Bu sayede, Langevin-Landau-Lifschitz metrikin, Minkowski uzay-zamanın hiperdilimi olmadığını her hayat çizgisinin bir nokta ile yerdeğiştirilmesi ile elde edilen bir oran uzay üzerinde elde edildiği, tanımlandı. Bu metrik yapıyı eklediğimizde Riemannian manifolt haline gelen üç boyutlu pürüssüz manifolt vermektedir.
• 1946: Nathan Rosen Langevin gözlemcileri ile birlikte aynı anda hareket eden eylemsiz gözlemcilerinde Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından verilen küçük uzunlukları ölçeceğini gösterdi.
• 1946: E. L. Hill (kaba ifadeyle) ışık hızının ses hızına eşit olduğu malzemelerde göresel stresi analiz etti ve bunların merkezkaç kuvveti kaynaklı dairesel genişlemeyi neredeyse ortadan kaldırdığını gösterdi. Hill Arthur Eddington ve diğerlerinin önceki hesaplamalardaki hatalarını da açıkladı.
• 1952: C. Møller dönen gözlemciler bakış açısından anlamsız geodesikleri çalışmayı denedi. (fakat yanlışlıkla uygun bölüntü uzay yerine dilimler kullanmayı deneyerek)
• 1968: V. Cantoni paradoksa direkt ve tamamen kinematik bir açıklama sağladı.
• 1975: Øyvind Grøn paradoksun çözümleri üzerine klasik derleme makalesi yayınladı.
• 1977: Grünbaum ve Janis başta dönmeyen bir diskin spin-upına uygulanabilecek “biçimi-değişebilir” fiziksel gerçekleştirilebilir bir kavram ortaya koydu. (Bu kavram disk yapılabilcek gerçek malzemeler için fiziksel olarak gerçekçi değil, düşünce deneyleri için geçerli)
• 1981: Grøn Hooke yasasının Lorentz dönüşümleri ile uyumlu olmadığını fark edip, göreliliğe dayalı genellemesini ortaya koydu.
• 1997: T. A. Weber ayrı olarak Langevin gözlemcileri ile ilişkili çerçeve alanı tanımladı.
• 2000: Hrvoje Nikolić dönen diskin her bir kısmı kendi eylemsiz olmayan çerçevesinde yaşayarak ayrıca alındığında paradoksun ortadan kalktığını gösterdi.
• 2002: Rizzi and Ruggiero (ve Bel) ayrı ayrı yukarıda bahsedilen bölüntü manifoltu ortaya koydular.

Paradoksa çözüm önerileri

Grøn paradoksun çözümüne dönen çerçevelerdeki saatlerin eşlenmesindeki imkansızlığın set çektiğini ifade etmektedir. Modern çözümler şu şekilde özetlenebilir:

1. Disk üzerindeki gözlemcilerce ölçülen küçük uzaklıklar Kaluza’nın iddia ettiği gibi hiperbolik düzlem geometrisi tarafından hakkaten çok iyi (küçük açılar için) yakımsanan Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından açıklanabilir.
2. Fiziksel olarak gerçekçi malzemeler için, gerçek bir disk merkezkaç kuvvetleri yüzünden spin-up fazı boyunca genişler; görecelik etkisi kısmen karşı gelse de bu Newtonsal etkiyi ortadan kaldırmaz. Sabit-durum dönmesi elde edildikten sonra ve disk sakinleşmeye bırakıldıktan sonra, ‘küçüklerde’ geometri yaklaşık Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından verilmektedir.