Droz-Farny doğru teoremi

Öklid geometrisinde, Droz-Farny doğru teoremi, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

$A_{0},B_{0},C_{0}$'dan geçen doğru Droz-Farny doğrusudur.

$T$, köşeleri $A$, $B$, ve $C$ olan bir üçgen ve $H$, yükseklik merkezi (üç yüksekliğin kesiştiği ortak nokta) olsun. $L_{1}$ ve $L_{2}$, $H$ üzerinden geçen birbirine dik herhangi iki doğru olsun. $A_{1}$, $B_{1}$, ve $C_{1}$ sırasıyla $L_{1}$'in $BC$, $CA$ ve $AB$ kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Benzer şekilde, $A_{2}$, $B_{2}$ ve $C_{2}$ de $L_{2}$'nin bu kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Droz-Farny doğru teoremi, üç doğru parçası $A_{1}A_{2}$,$B_{1}B_{2}$ ve $C_{1}C_{2}$'nin orta noktalarının eşdoğrusal olduğunu ifade eder.

Teorem, Arnold Droz-Farny tarafından 1899'da dile getirilmiştir ancak bir kanıtı olup olmadığı net değildir.

Goormaghtigh'in genellemesi

Droz-Farny doğru teoreminin bir genellemesi 1930'da René Goormaghtigh tarafından kanıtlandı.

Yukarıdaki gibi $T$, köşeleri $A$,$B$, ve $C$ olan bir üçgen olsun. $P$, $A$, $B$ ve $C$'den farklı herhangi bir nokta olsun ve $L$, $P$ üzerinden geçen herhangi bir doğru olsun. $A_{1}$, $B_{1}$ ve $C_{1}$ sırasıyla $BC$, $CA$, ve $AB$ kenar doğruları üzerindeki, $PA_{1}$, $PB_{1}$ ve $PC_{1}$ $L$ doğrusuna göre simetrik (yansıtma yoluyla) sırasıyla $PA$, $PB$ ve $PC$ doğrularının görüntüleri olacak şekilde noktalar olsun. Daha sonra Goormaghtigh teoremi $A_{1}$, $B_{1}$ ve $C_{1}$ noktalarının eşdoğrusal olduğunu söyler.

Droz-Farny doğru teoremi, $P$, $T$ üçgeninin yükseklik merkezi olduğunda bu sonucun özel bir durumudur.

Dao'nun genellemesi

Teorem, Dao Thanh Oai tarafından daha da genelleştirildi. Genelleme aşağıdaki gibidir:

İlk genelleme: $ABC$ bir üçgen olsun, $P$ düzlemdeki bir nokta olsun, üç paralel doğru parçası $AA',BB',CC'$ olsun, böylece orta noktalar ve $P$ eşdoğrusal olsun. Daha sonra $PA',PB',PC'$ sırasıyla üç eşdoğrusal noktada $BC,CA,AB$ ile kesişir.

Dao'nun ikinci genellemesi

İkinci genelleme: Düzlemde bir konik $S$ ve bir $P$ noktası olsun. Konik ile sırasıyla $A,A'$; $B,B'$; $C,C'$ noktasında kesişecek şekilde, $P$'den geçen üç $d_{a},d_{b},d_{c}$ doğrusu oluşturun. $D$, ($S$)'ye göre $P$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bir nokta olsun veya $D$ konik ($S$) üzerinde yer alır. $DA'\cap BC=A_{0}$; $DB'\cap AC=B_{0}$; $DC'\cap AB=C_{0}$ olsun. O zaman $A_{0},B_{0},C_{0}$ eşdoğrusaldır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Ayme, Jean-Louis (2004), A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem (PDF), 4, Forum Geometricorum, ss. 219-224, 31 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020  veya Alternatif Bağlantı (PDF), 15 Şubat 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020 
• Thas, Charles (2006), A Note on the Droz-Farny Theorem, 6, Forum Geometricorum [electronic only] 
• Struve, R; Struve, H. (2016), "An axiomatic analysis of the Droz-Farny Line Theorem", Aequat. Math., 90, ss. 1201-1218, doi:10.1007/s00010-016-0430-2 

Dış bağlantılar

• "Droz-Farny Line Theorem" (Java Applet). cut-the-knot. 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020. 
• "A generalization of Droz-Farny line theorem". geogebra. 28 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020. 
• "Goormaghtigh's generalization of the Droz-Farny Line". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020. 
• "Droz-Farny line on a sphere". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.