Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler

Doğrusal ve zamanla değişmeyen (DZD) sistemler, tüm sistemler ailesinin en önemli alt kümesini oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) sinyal işleme alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin (Fourier dönüşümleri, Konvolüsyon Operatörü, Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.[1]

Bir sistemin DZD olabilmesi için şu iki özelliği taşıması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- Doğrusallık:

Giriş-Çıkış ilişkisi , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali ve ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de ve olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de şeklinde (lineer kombinasyon) tanımlarsak, doğrusal bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: (Süperpozisyon özelliği)

Burada a ve b sabit katsayıları karmaşık sayılar kümesine dahildir.

2- Zamanla Değişmeme:

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş ve karşılık gelen çıkış olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: , bu sistemin zamanla değişmeyen özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

Benzeri bir tanım ayrık zamanlı DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

Ayrık zamanlı bir sistemin DZD olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması gerekli ve yeterli koşuldur:

1-

2-

Aşağıdaki örnek(ler) verilen bir sistemin DZD olup olmadığını, matematiksel olarak, nasıl bulabileceğimizi gösterir:

Örnek 1Düzenle

Giriş çıkış özelliği  olan sürekli zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık TestiDüzenle

  ve   girişler için çıkışlar   ve   olsun,   için çıkış

 
olduğundan, doğrusal değildir.

Zamanla Değişmeme TestiDüzenle

  girişi için çıkış   ikinci bir girişi   şeklinde tanımlarsak , ilgili çıkış:  olduğu için sistem zamanla değişmeyen özelliği gösterir.

Dolayısı ile doğrusallık koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir. Böylesi bir sistem için doğrusal olmayan-zamanla değişmeyen tanımı yapılabilir.

Örnek 2Düzenle

Giriş çıkış özelliği   olan ayrık zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık TestiDüzenle

  ve   girişler için çıkışlar   ve   olsun,   için çıkış

 
olduğundan, doğrusaldır.

Zamanla Değişmeme TestiDüzenle

  girişi için çıkış   olsun, ikinci bir girişi   şeklinde tanımlarsak , ilgili çıkış:

 
olduğu için sistem zamanla değişmektedir.

Dolayısı ile doğrusallık koşuluğunu sağladığı halde zamanla değişmeme koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir.

KaynakçaDüzenle

  1. ^ "Arşivlenmiş kopya". 27 Ağustos 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Temmuz 2016.