Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler

Doğrusal ve zamanla değişmeyen (DZD) sistemler, tüm sistemler ailesinin en önemli alt kümesini oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) sinyal işleme alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin (Fourier dönüşümleri, Konvolüsyon Operatörü, Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.

Bir sistemin DZD olabilmesi için şu iki özelliği taşıması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- Doğrusallık:

Giriş-Çıkış ilişkisi $y(t)=T\{x(t)\}$, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali $x_{1}(t)$ ve $x_{2}(t)$ ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de $y_{1}(t)=T\{x_{1}(t)\}$ ve $y_{2}(t)=T\{x_{2}(t)\}$ olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de $x_{3}(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$ şeklinde (lineer kombinasyon) tanımlarsak, doğrusal bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: (Süperpozisyon özelliği)

$$y_{3}(t)=T\{x_{3}(t)\}=T\{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\}=aT\{x_{1}(t)\}+bT\{x_{2}(t)\}=ay_{1}(t)+by_{2}(t)$$

Burada a ve b sabit katsayıları karmaşık sayılar kümesine dahildir.

2- Zamanla Değişmeme:

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi $y(t)=T\{x(t)\}$, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş $x_{1}(t)$ ve karşılık gelen çıkış $y_{1}(t)=T\{x_{1}(t)\}$ olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: $x_{2}(t)=x_{1}(t-d)~~,~~d\in R$, bu sistemin zamanla değişmeyen özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

$$y_{2}(t)\triangleq T\{x_{2}(t)\}=T\{x_{1}(t-d)\}=y_{1}(t-d)$$

Benzeri bir tanım ayrık zamanlı DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

Ayrık zamanlı bir sistemin DZD olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- ${\textstyle y_{3}[n]=T\{x_{3}[n]\}=T\{ax_{1}[n]+bx_{2}[n]\}=aT\{x_{1}[n]\}+bT\{x_{2}[n]\}=ay_{1}[n]+by_{2}[n]}$

2- ${\textstyle y_{2}[n]\triangleq T\{x_{2}[n]\}=T\{x_{1}[n-d]\}=y_{1}[n-d]~~~,~~d\in Z}$

Aşağıdaki örnek(ler) verilen bir sistemin DZD olup olmadığını, matematiksel olarak, nasıl bulabileceğimizi gösterir:

Örnek 1

Giriş çıkış özelliği $y(t)=T\{x(t)\}=e^{-x(t)}$olan sürekli zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık Testi

$x_{1}(t)$ ve $x_{2}(t)$ girişler için çıkışlar $y_{1}(t)=e^{-x_{1}(t)}$ ve $y_{2}(t)=e^{-x_{2}(t)}$ olsun, $x_{3}(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$ için çıkış

$$y_{3}(t)=T\{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\}=e^{-ax_{1}(t)-bx_{2}(t)}=(e^{-x_{1}(t)})^{a}\cdot (e^{-x_{1}(t)})^{b}=(y_{1}(t))^{a}\cdot (y_{2}(t))^{b}\neq ay_{1}(t)+by_{2}(t)$$

olduğundan, doğrusal değildir.

Zamanla Değişmeme Testi

$x_{1}(t)$ girişi için çıkış $y_{1}(t)=e^{-x_{1}(t)}$ ikinci bir girişi $x_{2}(t)=x(t-d)$ şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış: $y_{2}(t)=T\{x_{1}(t-d)\}=e^{-x_{1}(t-d)}=y_{1}(t-d)$olduğu için sistem zamanla değişmeyen özelliği gösterir.

Dolayısı ile doğrusallık koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir. Böylesi bir sistem için doğrusal olmayan-zamanla değişmeyen tanımı yapılabilir.

Örnek 2

Giriş çıkış özelliği $y[n]=T\{x[n]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{x[-k]}$ olan ayrık zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık Testi

$x_{1}[n]$ ve $x_{2}[n]$ girişler için çıkışlar $y_{1}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}$ ve $y_{2}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}$ olsun, $x_{3}[n]=ax_{1}[n]+bx_{2}[n]$ için çıkış

$$y_{3}[n]=T\{ax_{1}[n]+bx_{2}[n]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{{\big (}ax_{1}[-k]+bx_{2}[-k]{\big )}}=a\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}+b\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}=ay_{1}[n]+by_{2}[n]$$

olduğundan, doğrusaldır.

Zamanla Değişmeme Testi

$x_{1}[n]$ girişi için çıkış $y_{1}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}$ olsun, ikinci bir girişi $x_{2}[n]=x[n-d]$ şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış:

$$y_{2}[n]=T\{x_{1}[n-d]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k-d]}=\sum _{k=d}^{M-n+d}{x_{1}[-k]}\neq y_{1}[n-d]=\sum _{k=0}^{M-(n-d)}{x_{1}[-k]}$$

olduğu için sistem zamanla değişmektedir.

Dolayısı ile doğrusallık koşuluğunu sağladığı halde zamanla değişmeme koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir.