Dirichlet eta işlevi

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi . noktasındaki renk değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

Sayısal AlgoritmalarDüzenle

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

 

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemiDüzenle

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

 

koşulu sağlanıyorsa

 

eşitliğine ulaşılır. Burada   için geçerli γn hata payı

 

olarak hesaplanır.

Hata payındaki   ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerlerDüzenle

Ayrıca,

  (almaşık harmonik dizi)
 
 
 
 
 
 

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

 

Ayrıca bakınızDüzenle

KaynakçaDüzenle