Dirichlet çekirdeği

Matematiksel analizde, Dirichlet çekirdeği fonksiyonlarının koleksiyonudur

Peter Gustav Lejeune Dirichlet adına ithafen .

Fourier serisine ilişkisinden gelen Dirichlet çekirdeği önemlidir. 2π periyod'un herhangi bir f fonksiyonu ile Dn(x) nin evrişimi f 'e n inci-derece Fourier serisi yaklaşımıdır , yani ,

elde ederiz burada

f in k inci Fourier katsayılarıdır. Bu Fourier serilerinin yakınsaklığını incelemek için bu Dirichlet çekirdeğinin özelliklerini incelemenin yeterli olacağını ima eder.Özel önem aslında n → ∞ olarak sonsuza ıraksayan Dn nin normu L1 dir. Tek tahmin şudur

.

Bu eksiklik tektip integrallebilirin Fourier serisi için birçok ıraksak fenomen altındadır. Örneğin,düzgün sınırlılık ilkesi ile birlikte, bir sürekli fonksiyonun Fourier serisi olduğunu göstermek için kullanılabilen noktasal yakınsama oldukça dramatik bir şekilde başarısız olabilir,. Daha ileri ayrıntı için Fourier serisinin yakınsamasına bakınız

ilk birkaç Dirichlet çekirdeğinin çizimi

Delta fonksiyona ilişkiDüzenle

Periyodik Dirac delta fonksiyonu alıyoruz, bu gerçekten bir fonksiyon değildir, Başka içine yerleştirilen bir eşleme anlamında, ama oldukça bir "genelleştirilmiş fonksiyon"dur ayrıca bir "dağılım" denir, ve 2π ile çarpımı ile,2π periyodunun fonksiyonları üzerinde evrişim için özdeş öge alıyoruz . Diğer bir deyişle, elimizdeki

 

2π periyodun her f fonksiyonu içindir.Bu "fonksiyon"un Fourier serisi gösterimi

 

Dirichlet çekirdeği bunun için, bu serilerin sadece kısmi toplamının dizisidir, bir yaklaşık denklik olarak düşünülebilir. Özetle bu her zaman pozitif ögelerin bir yaklaşık denkliği değildir (bu nedenle yukardaki mantık hatalıdır).

Trigonometrik denkliğin kanıtıDüzenle

trigonometrik denklik

 

aşağıdaki gibi, bu makalenin üstünde görüntülenen tayin edilebilir. İlk olarak bir sonlu geometrik serilerin toplamı yerine konur

 

özel olarak,

 

elde ederiz

r−1/2 ile hem pay hem payda çarpılır,

 

alınıyor.Bu durumda r = eix

olarak gerekeni

 

elde ederiz

Trigonometrik denkliğin alternatif kanıtlarıDüzenle

 

serisi ile başlarız.

ile yukardaki iki taraflı çarpım

 

ve trigonometrik denklik kullanılıyor

 

r.h.s.ye

  için indirgenir

Denkliğin çeşitleriDüzenle

Eğer toplam yalnızca pozitif tam sayılar üzerinde (Bir DFT bu işlem sırasında ortaya çıkabilecek merkezli değildir), ise aynı tekniklerin aşağıda kullanıldığını görebiliriz:

 

KaynakçaDüzenle