Cisim (cebir)

halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapı

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır.[1] Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.[1]

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Rasyonel sayılar ve gerçel sayılar , cisimlerin başlıca örneklerindendir. Ancak soyut cebirde toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlı olduğu daha başka cisimler hayal etmek de mümkündür.

Tarihçe değiştir

Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almancada "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.

Tanımı ve Temel Özellikleri değiştir

Cisim Aksiyomları değiştir

  boş olmayan bir küme olsun. Bu kümenin bir cisim olması için, elemanları arasında   ile gösterip ve toplama diye adlandıracağımız, ve   ile gösterip çarpma diye adlandıracağımız iki tane ikili işlem tanımlanmış olması gereklidir. Ayrıyeten, bu işlemlerin bazı özellikleri sağlaması gerekmektedir. Toplama işlemi için;

  • Birleşme Özelliği Her   üçlüsü için  
  • Birim Elemanın Varlığı Öyle bir   mevcuttur ki her   için  
  • Ters Elemanların Varlığı Her   için öyle bir   elemanı mevcuttur ki  
  • Değişme Özelliği Her   ikilisi için  

özelliklerinin hepsi sağlanmalıdır. Cisimlerde, çarpma işlemi de benzer özellikleri sağlamaktadır:

  • Birleşme Özelliği Her   üçlüsü için  
  • Birim Elemanın Varlığı Öyle bir   mevcuttur ki her   için  
  • Ters Elemanların Varlığı Her   için öyle bir   elemanı mevcuttur ki  
  • Değişme Özelliği Her   ikilisi için  

Dikkat edilmesi gereken husus, çarpmada 0'ın ters elemanının bulunmamasıdır. Çarpma ve toplama işlemleri ise, birbirleri ile

  • Dağılma Özelliği Her   üçlüsü için  

sayesinde bağlanır. Bu özelliklerin yanı sıra, tek elemandan oluşan trivial cismi cisim olarak saymak bazen problemlere yol açtığından,

  • Trivial Olmama  

varsayımı eklenir, çünkü   olduğu durumda cisimdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu istisnai ve düzensiz bir yapı ortaya çıkar.

Aksiyomlardan çıkan sonuçlar değiştir

Bu aksiyomlar sağlandığı anda bazı kurallar otomatikman kanıtlanır:

  • Yutan Eleman Her   için  
  • Sıfır Bölenlerinin Yokluğu   ise  
  • Sadeleşme Özelliği Eğer   ise veya  'dan farklı  'ler için   ise  
  • Çıkarma ve Bölme Verilen iki   için   ve   ise   özelliğini sağlayan bir ve sadece bir   mevcuttur. Bunlar,   ve   şeklinde gösterilir.
  •   ve dolayısıyla  
  • Üs Alma Kısaca,   tane   yerine  gösterimi kullanılır. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar:
    •  
    •  
    •  

Örnekler değiştir

Temel Kavramlar değiştir

Altcisimler ve Cisim Uzatmaları değiştir

Bir cismin içinde daha küçük cisimlerin bulunduğu durumları incelemek çoğu zaman kullanışlıdır. Bu yüzden,   olsun, ve hem   hem de   birer cisim olsun. Bu durumda  'ya  'nin bir altcismi, ve  'ye de  'nın bir uzantısı denir. Cisim Teorisindeki birçok kuram, cisim uzantıları kullanılarak kanıtlandığından altcisimler ve uzantılar vazgeçilmezdir.

Hiçbir altcismi bulunmayan cisimlere asal cisim denir. İki altcismin kesişimi de yine bir altcisim olduğundan, herhangi bir   cisminin tüm altcisimlerini kesiştirince biricik bir asal cisim   elde edilir. Dolayısıyla her   cisminin içinde bir ve yegâne bir asal cisim   bulunur, ve  ,  'yi karakterize eder.

Mesela rasyonel sayıların kümesi   bir asal cisimdir. Bunun yanında yukarıda bahsedilen   cisimleri de birer asal cisimdir. Hatta bunlar dışında asal cisim bulunmamaktadır.

Karekteristik değiştir

Eğer bir   cisminin çarpımsal birim elemanı  'in hiçbir tam katı  'a eşit değilse, yani hiçbir zaman   olmuyorsa,  'nin karekteristiğinin 0 olduğu söylenir. Şayet belirli bir n için n tane   oluyorsa, bu özelliği sağlayan en küçük n'e o cismin karekteristiği denir. Bir cismin karekteristiği daima ya 0, ya da bir asal sayı olur.

Karekteristiği 0 olan bir cismin içinde daima rasyonel sayılar   bir altcisim olarak bulunur. Karekteristiği p olan cisimlerin içinde de   cismi bulunur. Bu cisimler asal cisim olduğundan, bir cisim içinde bulunan asal cismi sadece o cismin karekteristiğine bakarak bulmak mümkündür

Homomorfizmalar ve İzomorfizmalar değiştir

İki cismin arasında bulunan benzerlikler, homomorfizma olarak adlandırılır. Resmen, bir   eşlemesinin bir homomorfizma olması için, aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir:

  •  
  •  

Kısaca,   eşlemesi, toplama ve çarpmaya saygı göstermelidir.

Halkalar ile İlişkisi değiştir

Halkalardan Cisimlerin İnşası değiştir

Halkalar, cisimlerin daha genelleştirilmiş versiyonlarıdır. Halkalarda çarpma işleminin ters elemanlı ve değişmeli olması şartı aranmaz. Bunun bir sonucu olarak yukarıdaki özelliklerin bir çoğu kaybolur, mesela bazı halkalarda 0'dan farklı iki sayının çarpımı 0 olabilir.

0'dan farklı iki sayının çarpımının asla 0 olmadığı halkalara tamlık bölgesi denir. Eleman sayısı sonlu olan tüm tamlık bölgeleri aynı zamanda bir cisimdir. Sonsuz elemanlı tamlık bölgelerini kullanarak da bir cisim elde etmek mümkündür. Sonsuz tamlık bölgelerine örnek olarak tam sayıların kümesi  'yi alalım.

Kesir İnşası değiştir

Bir tamlık bölgesinden cisim elde etmenin bir yolu, ortaokulda gösterilen kesir kavramından esinlenmektir.   bir tamlık bölgesi olsun. O zaman  'dan aldığımız ikililerin kümesi olan  'den ikinci elemanın 0 olduğu ikilileri çıkardıktan sonra bir cisim yapısı, şu şekilde tanımlanabilir:

Öncelikle, iki ikilinin eşitlik şartlarını gevşetip,   ikililerini   özelliği sağlandığı sürece eşdeğer kabul edilen bir ilişki tanımlanır.   olduğu sürece bu ilişkinin bir eşitlik ilişkisi olduğunu göstermek zor değildir. Bu şekilde  'yi birbirine eşdeğer kabul ettiğimiz altkümelere indirgemek mümkündür.

Çarpma işlemini akla gelen şekilde   olarak tanımlamak mümkündür. Bu işlemin birleşmeli, değişmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olduğunu görmek de zor değildir. Aynı zamanda bu ilişki, yukarıda tanımlanan eşdeğerlik kuralıyla da çelişkisizdir. Bu tanım ve bu eşitlik kaidesi altında, verilen bir   ikilisinin tersi   olur. Bu şekilde inşa ettiğimiz yapı,  'da olmayan ters elemanlarla donatılır.

Toplama işlemini ise biraz daha karmaşık bir şekilde tanımlamak gerekir:   kuralıyla. Toplama işlemini ancak bu şekilde tanımlarsak yukarıda sağlanan eşitlik ilişkisi ile çelişkisiz olur. Yine bu tanımdaki toplamanın birleşmeli, değişmeli, sıfırlı ve ters elemanlı olduğu barizdir.

Bu işlemler ve bu eşitlik ilişkisi, nihayetinde bir cisim teşkil eder. Bu noktadan itibaren   olarak alıştığımız şekilde gösterilebilir. Daha önemlisi,   şeklinde olan elemanlar ile   arasında bir bijektif homomorfizma bulunduğundan  'nın bu oluşturduğumuz yeni cismin bir parçası olduğunu söylemek mümkündür. Dolayısıyla bu yöntem ile herhangi bir değişmeli tamlık bölgesini kapsayan bir cisim elde etmek mümkündür.

Tam sayılar   üzerinde bu yapıyı kullanmak, bize rasyonel sayılar cismi  'yu verir.[2]

Modüler Aritmetik değiştir

Tamlık bölgelerini kullanarak daha küçük cisimler elde etmenin bir yolu ise, bölüm halkalarını kullanmaktır. Şimdi   yine bir tamlık bölgesi olsun, ve   ise  'nın bir elemanı olsun. Yeni bir halka elde etmek için öncelikle bir eşitlik ilişkisi tanımlayalım:   diye gösterdiğimiz ilişki, sadece ve sadece  ,  'in bir katı ise geçerli olsun. Bu eşitlik ilişkisi, toplama ve çarpma altında da bozulmaz, dolayısıyla yeni bir halka tanımlanmış olur, ve bu halka   şeklinde gösterilebilir. Eğer   bir asal eleman ise, bu yeni ürettiğimiz halka aynı zamanda bir cisim yapısına sahip olur.

Bu yöntemi kullanarak  'den modülo 7 tam sayıların cismini elde etmek mümkündür. Bu şekilde  'den elde edilen cisimler   ile gösterilir. Mesela  'de her sayının gerçekten bir çarpımsal tersi vardır:

* 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1

Kaynakça değiştir

  1. ^ a b O' Hagan, Anthony (2013). The Oxford handbook of applied Bayesian analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198703174. 
  2. ^ Waerden, Bartel L. van der; Artin, Emil; Noether, Emmy (1993). Algebra. 1. 9. Aufl. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-56799-8. 

Ayrıca bakınız değiştir