Brocard noktaları

Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Üç çemberin kesişim noktasında oluşturulmuş, bir üçgene ait Brocard noktası.

TanımDüzenle

Kenarları  ,   ve  , köşeleri saat yönünün tersine doğru  ,   ve   olarak adlandırılmış bir   üçgeninde,  ,   ve   sırasıyla  ,   ve   kenarlarıyla eşit   açısı yapacak şekilde bir   noktası bulunur.

 

Bu   noktasına   üçgeninin birinci Brocard noktası ve   açısına üçgenin Brocard açısı denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

 

  üçgeninde  ,   ve   doğru parçalarının sırasıyla  ,   ve   kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir  , ikinci Brocard noktası, bulunur. Diğer bir deyişle

 

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

 

ve

 

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark   üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse,   üçgeninin birinci Brocard noktası,   üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

  üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesiDüzenle

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

  ile   noktalarından geçen, üçgenin   kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi  'nin orta dikmesi ile   noktasından  'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak,   ile   noktalarından geçen,   kenarına teğet ve   ile   noktalarından geçen,   kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası,   üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

KaynakçaDüzenle

Dış bağlantılarDüzenle