Bağlantı (ana demet)

Matematikte, bir bağlantı üzerinde paralel taşımanın bir kavramını tanımlayan bir araçtır; Şöyle ki, bir "bağlantı" veya en yakın noktalar üzerinde özdeş lifler için bir yoldur bir M düzgün manifold üzerinde P bir ana G-demet üzerinde bir ana G-bağlantı ve bu bağlantının özel bir tipidir ve grup G nin hareketi ile karşılaştırılabilir.

Bir ana bağlantı bir Ehresmann bağlantısı kavramının özel bir durumu olarak gösterilebilir ve bazen bir ana Ehresmann bağlantısı denir.Bu herhangi lif demeti üzerinde bağlantılar(Ehresmann) birleşmeli demet yapımı yoluyla P için ilişkiye yol açar. Özelde,herhangi birleşmeli vektör demeti üzerinde ana bağlantı bir eşdeğişken türev uyarır, böyle bir işlemci taban manifold içinde teğet yönler boyunca bu demetlerin bu dilimleri diferansiyellenebilir.Ana demetler bir düzgün manifoldun çerçeve demeti üzerinde bir doğrusal bağlantının keyfi ana demetler kavramı için genelleştirilebilir.

Resmi tanımDüzenle

Diyelimki π:PM bir M düzgün manifold üzerinde bir düzgün ana G-demet olsun.O zaman bir P üzerinde bir ana G-bağlantı ve G'nin bu P Lie cebri içindeki değerler ile   üzerinde bir diferensiyel 1-form G-eşitdeğişken ve yeniden üretme P üzerinde ana vektör alanları'nın Lie cebri üreteçleri dir.

Diğer bir deyişle, bu ω ,   nin bir ögesidir böylece

  1.   burada Rg g ile sağ çarpım ifadesidir, ve     (açıkçası,  ) üzerinde ek gösterimdir;
  2. Eğer   ve Xξ P üzerinde G hareket diferansiyasyonu ile ξ için ilişkili P üzerinde vektör alanı, ise ω(Xξ) = ξ ( P üzerinde eştir).

Bazen ana G-bağlantı terimleri (P,ω) ve ω çiftinin kendisi için adlandırma olarak ana bağlantının bağlantı formu veya bağlantı-1-formu denir.

Ehresmann bağlantıları ile ilişkiDüzenle

P üzerinde bir ana G-bağlantı aşağıdaki yol içinde P üzerinde ω bir Ehresmann bağlantısı içinde üzerinde belirlenir. ilkinci note that the temel vektör alanları generating the G action on P provide a bundle isomorphism ( Pnin tanıtım örtüsü) dan demet VP   ye, burada VP = ker(dπ) is the kernel of the teğet eşleme   which is called the vertical bundle of P. It follows that ω determines uniquely a bundle map v:TPV which is the identity on V. Such a projection v is uniquely determined by its kernel, bu TPnin H düzgün bir altdemeti (yatay demet denir) böylece TP=VH. Bu bir Ehresmann bağlantısıdır.

Aksi takdirde, P üzerinde bir Ehresmann bağlantısı HTP (veya v:TPV) bir ana G-bağlantısı ω tanımlar,ancak ve ancak bu   anlamında G-eşitdeğişkendir.

Bir yerel önemsizleştirme içinde formDüzenle

Bir ana demet P'nin bir yerel önemsizleştirmesi M nin U bir açık altkümesi üzerinde P nin bir s kesiti ile veriliyor . Then the pullback s*ω of bir temel bağlantılar  'nin içinde değerler U üzerinde bir 1-formdur.Eğer s kesiti yerine konularak bir yeni sg kesiti (sg)(x) = s(x)g(x) ile tanımlanıyor,burada g:MG ve (sg)*ω = Ad(g)−1 s*ω+g−1dg ise bir düzgün haritadır.Ana bağlantı  -değerli 1-formlarının ailesi ile eşsizlik belirlenir ve özel olarak daha eski veya daha fazla fizik odaklı literatür içinde bu 1-formların ayrıca bağlantı formlarıdır veya 1-formların bağlantısı denir.

Ana bağlantıların demetiDüzenle

Grup G sağ öteleme ile teğet demet TP üzerinde hareketlerdir.Bölüm uzayı TP/G ayrıca bir manifoldtur, ve TM üzerinde bir lif demetinin yapısını devralır bu :TP/GTM olarak ifade edilmişti. Diyelimki ρ:TP/GM M üzerine izdüşüm olsun.Bir eklemeli yapı taşıyan ρ izdüşümü altında TP/G demetinin lifleridir.

TP/G demetine ana bağlantıların demeti Kobayashi 1957 denir.dπ:TP/GTM nin bir dilimi ve Γ böylece Γ : TMTP/G M üzerinde vektör demetlerinin bir doğrusal morfizmdir, P içinde bir ana bağlantı ile tanıtılabilir.Aksine, bir ana bağlantı TP/G nin Γ bir kesiti gibi yukarıda tanımlandığı gibi ortaya çıkarmaktadır.

Sonuç olarak, diyelimki Γ bu anlamda içinde bir ana bağlantı olsun. Diyelimki q:TPTP/G bölme eşlemesi olsun,bağlantının yatay dağılım demeti

 

Afin özellikDüzenle

Eğer ω ve ω' ana bağlantılar bir ana demet P üzerinde, ise ω' - ω farkı bir  -değerli 1-form P üzerinde yalnızca bu G-eşitdeğişken değildir, ama bu anlamda yatay içinde Pnin V dikey demetinin herhangi bir dilimi üzerinde bu kayboluyor. Dolayısıyla bu temel ve böylece ek demet içindeki değerleri ile M üzerinde bir 1-form ile tanımlanıyor

 

Diğer taraftan, Bu tür bir biçim P üzerinde (geriçekme yoluyla) bir G-eşitdeğişken yatay 1-form üzerinde tanımlanıyor, ve ana G-bağlantılarının uzayı 1-formların bu uzay için bir afin uzayıdır.

Uyarılmış değişken ve dış türevlerDüzenle

G nin herhangi doğrusal gösterimi W için burada M üzerinde bir birleşmeli vektör demeti  , ve bir ana bağlantı herhangi vektör demeti gibi üzerinde bir eşdeğişken türev uyarır.Bu eşdeğişken türev M üzerinde   nin dilimlerinin uzayı aslında kullanılıp tanımlanabilir ve P üzerinde G-eşitdeğişken W-değerli fonksiyonların uzayı için izomorfiktir . Daha da geneli,k-formlar içindeki değerleri ile   nin uzayı is P üzerinde identified with the space of G-eşitdeğişken ve yatay W-değerli k-formların on . Eğer α bir k-form gibi, ise bu dış cebir dαdir,G-eşitdeğişkene rağmen, uzun yatay değildir. Bununla birlikte,düzenleme dα+ωΛα dir. Bu  -değerli (k+1)-formlar için M üzerinde  -değerli k-formlardan bir dış eşdeğişken türev dω tanımlanıyor .Özel olarak, eğer k=0 ise,   üzerinde biz bir eşdeğişken türev elde ederiz.

Eğrilik formuDüzenle

Bir ana G-bağlantısı ω'nın Eğrilik formu  -değerli 2-form Ω ile tanımlanıyor

 

Bu G-eşitdeğişken ve yataydır , bu nedenle   içinde değeri ile M üzerinde bir 2-form için denk gelir . bu nicelik ile eğriliğin kimliği bazen ikinci yapı denklemi diye adlandırılır.

Çerçeve demetler üzerinde bağlantılar ve burulmaDüzenle

Eğer ana demet P çerçeve demet, veya (daha geneli) eğer bu bir katı form, ise bağlantı bir afin bağlantının bir örneğidir ve eğri yalnızca değişmez değildir, bu bağlamda katı form θnın eklemeli yapısı, bu Püzerinde bir eşitdeğişken Rn-değerli 1-form,dikkate alınmalıdır. özel olarak,P üzerinde burulma formu,bir Rn-değerli 2-form Θ ile tanımı

 

Θ G-eşitdeğişken ve yatay, ve böylece bu inenler M üzerinde bir teğet-değerli 2-form için, burulma olarak adlandırılır. Bu denklem bazen ilk yapı denklemi olarak adlandırlır.

KaynakçaDüzenle