Olasılık kütle fonksiyonu

Olasılık kuramı bilim dalında bir olasılık kütle fonksiyonu bir ayrık rassal değişkenin olasılığının tıpatıp belli bir değere eşit olduğunu gösteren bir fonksiyondur. Olasılık kütle fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonundan farklıdır; çünkü olasılık yoğunluk fonksiyonu yalnızca sürekli rassal değişkenler için tanımlanmış olup doğrudan doğruya olasılık değerini vermezler. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun bir belli değer aralığı (yani a ve b değerleri aralığı) için integrali alınırsa bu rassal değişkenin belirlenen değer aralığı için olasılığını verir.

Bir olasılık kütle fonksiyonunun grafiksel gösterimi. Bu fonksiyonun hiçbir değeri negatif olmayıp, tüm değerlerinin toplamlamı tam olarak bire eşittir.

Matematiksel tanımlama

Bir zar için olasılık kütle fonksiyonu. Bir zar atıldığı zaman zarın her altı yüzü de aynı olasılıkla üste gelebilir.

Eğer X  S ⊆ R örneklem uzayında bazı sayılabilir değerleri alabilen bir ayrık rassal değişken ise, o halde X için verilmiş,  f_X(x) , olasılık kütle fonksiyonu, şöyle ifade edilir:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\Pr(X=x),&x\in S,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash S.\end{cases}}$

Dikkat edilirse bu çok açık bir surette,  f_X(x)  fonksiyonunu tüm reel sayılar için tanımlamaktadır; ama birçok sayı değerine sıfır olasılık saptanmaktadır.

Olasılık kütle fonksiyonlarında bulunan süreksizlik, bir ayrık rassal değişken için yığmalı dağılım fonksiyonun süreksiz olması gerçeğini yansıtmaktadır. Bu fonksiyonun eğer türevini almak mümkün ise (yani x ∈ R\S olduğu hallerde) bu türev değeri sıfır olmaktadır; bu noktalar, aynen olasılık kütle fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalardır.

Örneğin

X rassal değişkeni bir madeni para havaya atılıp yazı-tura gelmesinin gözlemlemesi şeklinde bir deneme olsun, Bu denemenin iki mümkün sonucu vardır: yazı gelirse 0 ve tura gelirse 1. Durum uzayı olan (0,1)de X=x olasılığı 0,5 olur. Bu nedenle olasılık kütle fonksiyonu

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \{0,1\}.\end{cases}}$

olarak ifade edilir.

İçsel kaynaklar

• Ayrık olasılık dağılımları