Özyineli tanımlama
değiştir
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir ;
1
1
−
2
x
t
+
t
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}.\qquad }
(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:
P
0
(
x
)
=
1
,
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x}
Bu ilk iki terim Legendre polinomu dur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
2
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}
3
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}
4
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}
5
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}
6
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}
7
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}
8
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}
9
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}
10
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
L
y
=
0
{\displaystyle Ly=0\,}
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
y
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
y
′
=
∑
n
=
0
∞
n
a
n
x
n
−
1
{\displaystyle y'=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}
y
″
=
∑
n
=
0
∞
n
(
n
−
1
)
a
n
x
n
−
2
{\displaystyle y''=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
L
y
{\displaystyle Ly\,}
=
(
1
−
x
2
)
y
″
−
2
x
y
′
+
l
(
l
+
1
)
y
{\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y}
=
(
1
−
x
2
)
∑
n
=
0
∞
n
(
n
−
1
)
a
n
x
n
−
2
−
2
x
∑
n
=
0
∞
n
a
n
x
n
−
1
+
l
(
l
+
1
)
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
{\displaystyle =(1-x^{2})\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
=
∑
n
=
0
∞
[
−
n
(
n
−
1
)
−
2
n
+
l
(
l
+
1
)
]
a
n
x
n
+
∑
n
=
0
∞
n
(
n
−
1
)
a
n
x
n
−
2
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}
=
∑
n
=
0
∞
[
l
2
−
n
2
+
l
−
n
]
a
n
x
n
+
∑
n
=
−
2
∞
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
+
2
x
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}
=
∑
n
=
0
∞
[
(
l
+
n
+
1
)
(
l
−
n
)
a
n
+
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
+
2
]
x
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}
=
0
{\displaystyle =0\,}
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
a
2
=
−
l
(
l
+
1
)
2
a
0
{\displaystyle a_{2}=-{l(l+1) \over 2}a_{0}}
olur. Genellenirse
a
n
+
2
=
−
(
l
+
n
+
1
)
(
l
−
n
)
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
a
n
{\displaystyle a_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_{n}}
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
lim
n
→
∞
|
a
n
+
2
x
n
+
2
a
n
x
n
|
<
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_{n}x^{n}}\right|<1}
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
n
=
−
l
veya
n
=
−
(
l
+
1
)
{\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,}
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Legendre polinomlarının ek özellikleri
değiştir
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
P
n
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
x
)
.
{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}
[1] diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
P
n
(
1
)
=
1.
{\displaystyle P_{n}(1)=1.\,}
ve son noktada türev ile veriliyor
P
n
′
(
1
)
=
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,}
yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,}
ve
x
2
−
1
n
d
d
x
P
n
(
x
)
=
x
P
n
(
x
)
−
P
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x).}
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
(
2
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
d
d
x
[
P
n
+
1
(
x
)
−
P
n
−
1
(
x
)
]
.
{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}
yukardakinden şu görülebilir
d
d
x
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
P
n
(
x
)
+
(
2
(
n
−
2
)
+
1
)
P
n
−
2
(
x
)
+
(
2
(
n
−
4
)
+
1
)
P
n
−
4
(
x
)
+
…
{\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\ldots }
veya eşdeğeri
d
d
x
P
n
+
1
(
x
)
=
2
P
n
(
x
)
‖
P
n
(
x
)
‖
2
+
2
P
n
−
2
(
x
)
‖
P
n
−
2
(
x
)
‖
2
+
…
{\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots }
burada
‖
P
n
(
x
)
‖
{\displaystyle \|P_{n}(x)\|}
‖
P
n
(
x
)
‖
=
∫
−
1
1
(
P
n
(
x
)
)
2
d
x
=
2
2
n
+
1
.
{\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}
Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
P
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
2
(
1
+
x
2
)
n
−
k
(
1
−
x
2
)
k
.
{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.}
elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği 'nden Legendre polinomları için okunan
∑
j
=
0
n
P
j
(
x
)
≥
0
(
x
≥
−
1
)
.
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).}
Legendre polinomlarının bir toplamı
−
1
≤
y
≤
1
{\displaystyle -1\leq y\leq 1}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
δ
(
y
−
x
)
=
1
2
∑
ℓ
=
0
∞
(
2
ℓ
+
1
)
P
ℓ
(
y
)
P
ℓ
(
x
)
.
{\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x)\,.}
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
P
ℓ
(
r
⋅
r
′
)
=
4
π
2
ℓ
+
1
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
.
{\displaystyle P_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\,.}
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\theta ,\phi )}
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle (\theta ',\phi ')}
Asimptotiklik
ℓ
→
∞
{\displaystyle \ell \rightarrow \infty }
P
ℓ
(
cos
θ
)
=
J
0
(
ℓ
θ
)
+
O
(
ℓ
−
1
)
=
2
2
π
ℓ
sin
θ
cos
[
(
ℓ
+
1
2
)
θ
−
π
4
]
+
O
(
ℓ
−
1
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}
ve birimden büyük eklentiler için
P
ℓ
(
1
1
−
e
2
)
=
I
0
(
ℓ
e
)
+
O
(
ℓ
−
1
)
=
1
2
π
ℓ
e
(
1
+
e
)
(
ℓ
+
1
)
/
2
(
1
−
e
)
ℓ
/
2
+
O
(
ℓ
−
1
)
,
{\displaystyle P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,}
burada
J
0
{\displaystyle J_{0}}
I
0
{\displaystyle I_{0}}
Bessel fonksiyonlarıdır .
Legendre polinomlarının kayması
değiştir
Legendre fonksiyonları
değiştir
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonları dır,
Q
n
(
x
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
Q
n
(
x
)
=
n
!
1.3
⋯
(
2
n
+
1
)
[
x
−
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
2
(
n
+
3
)
x
−
(
n
+
3
)
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
2.4
(
2
n
+
3
)
(
2
n
+
5
)
x
−
(
n
+
5
)
+
⋯
]
{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}
Diferansiyel denklem
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
f
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}
genel çözümü var
f
(
x
)
=
A
P
n
(
x
)
+
B
Q
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=AP_{n}(x)+BQ_{n}(x)}
burada A ve B sabitlerdir.
Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları
değiştir
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P 0 n P n
^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.
Şablon:Abramowitz Stegun ref2 Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials , Mathematical tables, 18 , Pergamon Press Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1 , New York: Interscience Publischer, Inc Şablon:Dlmf Şablon:Dlmf Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions , CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4 
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31ba876004083425770fac7840fed7a82f62cde)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e6b2d625a90ce9152fe2c09e352f1d6c64a2b)
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7e93c21921a6b5765cf9b4376575447853ea22)
![{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa454db60b7ec70d700443ad66eed44c67d7d8d)
![{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a781d5a0c753cbd8e63e208169adbe4aedf32953)
![{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abee661c2b131980e40b0311ec94a3d718625b6)
![{\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8524e798b75fe67d6b46c8f2d68ffea9aeeb759)
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6694a886e69ac92d575c47ddbd9d6845d7712dc3)
