Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematikte adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:

Laguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzere

$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,$

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur

$\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.$

L₀, L₁, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).$

Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

$L_{0}(x)=1\,$

$L_{1}(x)=1-x\,$

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

$L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.$

buradan

$E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.$

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,α > −1,

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.$

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).$

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

$L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

• melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
  • $L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,$ $=e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)$$={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)$$=e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.$
  • Eğer $n$ bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi $n$. alternaif bir ifade $L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)$ içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir .
• Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi $n$ ise $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}$ (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
  • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

$L_{0}^{(\alpha )}(x)=1$

$L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}$

$L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}$

• • ilk terimleri is (−1)ⁿ/n! katsayı'sıdır;
  • $L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};$ merkezindeki değer sabit terim'dir.
• hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

  function LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    for i:= 1 to n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  return LaguerreL;
 }

• L_n^(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada $\left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}$ bir Sturm zinciri'dir), bütün $(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]$ aralık'ı içindedir .
• $n$'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı $\alpha$ sabit ve $x>0$, verilirse,

$L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)$, and

$L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)$..

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Ortogonal polinomlar
• Rodrigues formülü
• Angelescu polinomları
• Bessel polinomları
• Denisyuk polinomları
• Enine mod; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 19 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial 25 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
• George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.