n adet doğrusal olarak bağımsız qi (i = 1, ..., n n × n A
A
=
Q
Λ
Q
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}
Burada Q i numaralı sütunu A qi özvektörü olan n × n Λ Λii = λi köşegen matristir . Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin,
[
1
1
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}
Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen Q n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q −1
Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:
A
v
=
λ
v
A
Q
=
Q
Λ
A
=
Q
Λ
Q
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}}
2 × 2 boyutlu A
A
=
[
1
0
1
3
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}
tekil olmayan B
B
=
[
a
b
c
d
]
∈
R
2
×
2
.
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}
Herhangi bir köşegen matrisi
C
=
[
x
0
0
y
]
{\displaystyle C=\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}
B
−
1
A
B
=
C
{\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C} }
[
a
b
c
d
]
−
1
[
1
0
1
3
]
[
a
b
c
d
]
=
[
x
0
0
y
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}
İki taraf da B
[
1
0
1
3
]
[
a
b
c
d
]
=
[
a
b
c
d
]
[
x
0
0
y
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}
Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:
{
[
1
0
1
3
]
[
a
c
]
=
[
a
x
c
x
]
[
1
0
1
3
]
[
b
d
]
=
[
b
y
d
y
]
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}
Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:
{
[
1
0
1
3
]
[
a
c
]
=
x
[
a
c
]
[
1
0
1
3
]
[
b
d
]
=
y
[
b
d
]
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}
Vektörleri isimlendirirsek:
a
→
=
[
a
c
]
,
b
→
=
[
b
d
]
,
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}
iki vektör denklemi elde ederiz:
{
A
a
→
=
x
a
→
A
b
→
=
y
b
→
{\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}
İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
A
u
=
λ
u
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }
burada λ iki özdeğeri (x , y ), u a → b →
λ u u
(
A
−
λ
I
)
u
=
0
{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }
B u
det
(
A
−
λ
I
)
=
0
{\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}
Böylece,
(
1
−
λ
)
(
3
−
λ
)
=
0
{\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}
A λ = 1λ = 3
[
1
0
0
3
]
{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}
Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
{
[
1
0
1
3
]
[
a
c
]
=
1
[
a
c
]
[
1
0
1
3
]
[
b
d
]
=
3
[
b
d
]
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}
ve bu denklemi çözersek:
a
=
−
2
c
and
b
=
0
,
c
,
d
∈
R
.
{\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}
B
B
=
[
−
2
c
0
c
d
]
,
c
,
d
∈
R
,
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
[
−
2
c
0
c
d
]
−
1
[
1
0
1
3
]
[
−
2
c
0
c
d
]
=
[
1
0
0
3
]
,
c
,
d
∈
R
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86645fac7ab74a9bf79acc20abb7a56a1a1ce54b)
![{\displaystyle C=\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e229615b547f6c80d8972ae29997be811eefe4a1)
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1493b65cef1e702f043de193bab6fbe625b9dce5)
