Moment (matematik): Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Khutuck Bot (mesaj | katkılar) k Bot: Kozmetik değişiklikler |
|||
3. satır:
Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır.
[[Olasılık kuramı]] ve [[istatistik]] bilim dalları için '''momentler'''in ilgili olduğu fonksiyonlar
Eğer ''f'' bir [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] ise, o halde yukarıda verilmiş olan entegralin değeri [[olasılık dağılımı]]nin ''n''inci moment [[Riemann-Stieltjes entegrali]] tarafından şöyle verilir:
17. satır:
ise momentin mevcut olmadığı kabul edilir. Egğr herhangi bir nokta etrafında ''n''inci moment belirlenebilirse, o halde (''n'' - 1)inci moment de bulunur ve her bir nokta etrafında daha-alt derecelerdeki momentler de bulunur.
== Momentlerin önemi ==
[[Dosya:Moments.svg|right|thumb|300px|Dört değerli bir [[tekdüze dağılım (aralıklı)|aralıklı tekdüze dağılım]] için
28. satır:
Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.
=== Varyans ===
İkinci merkezsel moment [[varyans]] σ<sup>2</sup> olur; bunun pozitif kare kökü [[standart sapma]] σ olur.
37. satır:
σ<sup>''n''</sup> olur; yani ''t'' = (''x'' - μ)/σ ifadesinin ''n''inci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal iskala degişiminden etkilenmeden bir dagilimi temsil edebilirler.
=== Çarpıklık ===
Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment
[[Normal dağılım]]dan çok fazla farklı olmayan dağılımlar icin [[medyan]] μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve [[mod]] ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.
=== Basıklık ===
Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ<sup>4</sup> olur.
[[Basıklık]] ölçüsü olarak kullanılan ''basıklık fazlalığı'' katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncü [[kümülant]] bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan ''eksi 3'' terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü
[[Basıklık]] ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka
Bu eşitsizlik terimin isbat etmek için önce şu terimi ele alalım:
57. satır:
Bunda ''T'' = (''X'' - μ)/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. ''a'' degeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda ''a'' ifadesinde bir [[kuadratik denklem]] olur. Bu da isbati istenilen ifadedir.
== Kümülantlar ==
Birinci moment ve ikinci ve üçüncü ''normalize edilmemiş merkezsel'' momentler doğrusaldırlar; yani eğer ''X'' ve ''Y'' istatistiksel olarak bağımsız rassal değişkenlerse, o halde
73. satır:
eşitlikleri gerçektir. (Bu şartlar yalnız bağımsızlık şartına değil daha zayıf şartlar altında bulunan değişkenler için de gerçek olabilir.) Birinci şart her zaman doğru olup ikinci şart da doğru olursa bu değişkenler arasında [[korelasyon]] yoktur.
Bunun doğruluğunu anlamak için bu momentlerin ilk üç kümülant olduklarını ve dördüncü [[kümülant]]in ise basıklık katsayısı κ
Bütün kümülantlar momentlerin [[polinom]]larıdır yani [[faktoriyel moment]]lerdir. Merkezsel momentler sıfır etrafındanki momentlerin polinomlarıdır ve bunun aksi de doğrudur.
85. satır:
Bu bir yansız kestirimdir. Çünkü herhangi bir ''n'' büyüklükte bir örneklem için örneklem momentinin matematiksel beklenen değerinin anakütle ''k''-inci momentine eşit olduğu hemen göosterilebilir.
== Ayrıca bakınız ==
* [[Binom dağılım]]
95. satır:
* [[Standardize edilmiş moment]]
== Dış bağlantılar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/Moments.html] Mathworld websitesi.
{{Olasılık Dağılımlar Kuramı}}
| |||