Genelleştirilmiş f ortalaması: Revizyonlar arasındaki fark

[[Matematik]] ve [[istatistik]] bilim dallarında '''genelleştirilmiş f-ortalaması''' [[merkezsel konum ölçüleri]]nden olan değişik [[ortalama]]lar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Benzer çabalar biraz değişik diğer bir [[genelleştirilmiş ortalama]] formülünü vermiştir.<ref>Bibby,J.(1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences," ''Glasgow Mathematical Journal, C. 15, say. 63–65</ref>. Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için '''f-ortalaması''' çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır. Bazan '''yarı-aritmetik ortalama''' adı kullanılmaktadır. Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi [[A.Kolmogorov]] adına atfen de bazan '''Kolmogorov ortalaması''' olarak isimlendirilmektedir.<ref>Kolmogorov,A. (1930) ''Mathematics and mechanics'', Moskova say.136-138. (Rusça)</ref>

== Tanımlama ==

Eğer ''f'', reel doğrunun [[bağlanmış]] altseti olan <math>S</math>yi [[reel sayılar]]a tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem [[sürekli]] hem de [[enjektif]] ise, o halde şu iki sayı olan <math>\{x_1, x_2\} \subset S</math> için '''f-ortalaması''' şöyle tanımlanır:

<math>n</math> büyüklükteki bir veri dizisi

ifadesinin <math>f^{-1}</math> sahasında bulunmalıdır. Böylece enjektif ve sürekli olması sağlanan ''f'' kesinlikle [[monotonik fonksiyon]] olur ve bunun için <math>x</math> içinde ne bu grubun içindeki en büyük sayıdan daha büyük ne de grubun en küçük sayısından daha küçük olabilir.

* Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir.

* Eğer <math>S</math> reel doğruya (yahut <math>a</math>nin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon <math>x\mapsto a\cdot x + b</math>a) tasarımlanırsa ve <math>f = \mathrm{id}</math>, ise ''f''-ortalaması [[aritmetik ortalama]] olur.

* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f = \ln(x)</math>, ise ''f''-ortalaması [[geometrik ortalama]] olur. ''f''-ortalaması özelliklere uygun olarak bu sonuç eğer pozitif ise ve 1 değilse, dayandığı logaritma bazının ne olduğunun hiç önemi bulunmamaktadır.

* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f = \frac{1}{x}</math>, ise ''f''-ortalaması [[harmonik ortalama]] olur.

* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f = x^p</math>, ise ''f''-ortalaması <math>p</math> üslü [[güç ortalaması]] olur.

[[Ortalama]] için kullançılan fonksiyonlar ok kere [[homojen]]dirler. Ancak ''f-ortalaması'' için <math>f</math> fonksiyonlarının çoğu homojen değildir. Homojenlik özelliği girdi veri değerlerini özel bir homojen ortalama <math>C</math> ile normalize ederek yani

sağlanabilir. Ancak bu değişme bazı ''f''-ortalamaları için [[monoton]]luk ve [[bölüntülenme]] özelliklerin ortadan kaldırabilir.

== Kaynak ==

* {{Kaynak wiki|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=quasi-arithmetic_mean|tarih=5 Temmuz 2008|dil=İngilizce|madde=Quasi-arithmetic mean}}

== Referanslar ==