Laurent serisi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
x |
88.243.108.48 (k - m - e) tarafından yapılan değişiklik geri alınıyor. |
||
15. satır:
''f''(''z'')'nin bu halkadaki herhangi bir yerdeki açılımı geçerlidir. Sağdaki diyagramda kırmızı ile gösterilen halka ile birlikte γ etiketli örnek bir integral yolu da gösterilmiştir. Uygulamada, bu formül nadiren kullanılır çünkü integralleri bulunması zordur; yerine Laurent serisi, bilinen Taylor serisi ile birleştirilir. Aşağıda anlatıldığı gibi başka ihtimaller olmasına rağmen, ''a<sub>n</sub>'' ve ''c'' karmaşık sayıları genelde [[karmaşık sayı]] olarak alınır.
==Yakınsak Laurent serileri==
Karmaşık katsayılara sahip Laurent serilerinin [[karmaşık analiz]]de önemli bir yeri vardır. Özellikle, tekilliklerinin yanında fonksiyonların davranışlarını incelemek için kullanılırlar.
[[Dosya:expinvsqlau.png|right|frame|''e''<sup>-1/''x''<sup>2</sup></sup> ve Laurent yaklaşımları (yazıyı görünüz). Laurent serisinin negatif derecesi arttıkça, doğru fonksiyona yaklaşır.]]
Mesela, ''f''(0) = 0 olan ''f''(''x'') = ''e''<sup>-1/''x''²</sup> fonksiyonunu ele alalım. Gerçel bir fonksiyon olarak, her yerde sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyondur; ancak karmaşık bir fonksiyon olarak ''x'' = 0 'da türevli değildir. [[Üstel fonksiyon]]un [[kuvvet serisi]]nde ''x'' 'i -1/''x''<sup>2</sup> ile değiştirerek, ''x'' = 0 tekilliği dışındaki bütün ''x'' karmaşık sayıları için yakınsayan ve ''f''(''x'') 'e eşit olan Laurent serisini elde ederiz. Yandaki resimde, ''e''<sup>-1/''x''<sup>2</sup></sup> siyah çizgi ile gösterilmiştir. Aynı fonksiyonun ''N'' = <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>2</font>, <font color=#0000b3>3</font>, <font color=#b3b300>4</font>, <font color=#00b3b3>5</font>, <font color=#b300b3>6</font>, <font color=#b3b3b3>7</font> ve <font color=#33b300>50</font> için Laurent yaklaşımları
:<math>\sum_{n=0}^N(-1)^n\,{x^{-2n}\over n!}</math>
de verilmiştir. ''N'' → ∞ oldukça, yaklaşım ''x'' = 0 tekillik noktası haricindeki tüm ''x'' karmaşık sayılarında daha düzgün olur.
Daha genel olarak, Laurent serileri, [[disk]]te tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılan [[kuvvet serileri]] kadar, bir [[halka (matematik)|halka]] üzerinde tanımlı [[holomorf fonksiyon]]ları ifade etmekte kullanılır.
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n ( z - c )^n</math>
serisinin ''a''<sub>''n''</sub> karmaşık katsayılarına ve ''c'' karmaşık merkezine sahip bir Laurent serisi olduğunu varsayalım. O zaman [[biricik]] bir iç yarıçap <var>r</var> ve dış yarıçap ''R'' vardır; öyle ki
* Laurent serisi ''A'' := {''z'' : ''r'' < |''z'' - ''c''| < ''R''} açık halkasında yakınsar. Laurent serisi yakınsar denirken burada hem pozitif dereceli kuvvet serisinin hem de negatif dereceli kuvvet serisinin yakınsadığı denilmektedir. Dahası, bu yakınsaklık [[tıkız küme]]ler üzerinde [[düzgün yakınsaklık|düzgün]] olacaktır. Sonuçta, yakınsak seri açık halka üzerinde [[holomorf]] bir ''f''(''z'') fonksiyonu tanımlar.
* Halka dışında, Laurent serisi ıraksar. Yani, ''A'' 'nın [[dış (topoloji)|dış]]ındaki her noktada, pozitif dereceli ya da negatif dereceli kuvvet serisi ıraksar.
* Halkanın [[sınır (topoloji)|sınırı]] üzerinde, iç sınırın üzerindeki en az bir noktada ve dış sınırın üzerindeki en az bir noktada ''f''(''z'') 'nin holomorf bir şekilde bu noktalara devam ettirilemeyeceğini söylemek dışında genel bir yargıya varmak söz konusu değildir.
''r'' 'nin sıfır olması veya ''R'' 'nin sonsuz olması da muhtemeldir ancak ''r'' 'nin ''R'' 'den küçük olması pek de muhtemel değildir. Bu yarıçaplar şu şekilde hesaplanabilir.
:<math>r = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_{-n}|^{1/n}</math>
:<math>{1 \over R} = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_n|^{1/n}.</math>
Bu sonraki [[lim sup]] sıfır olduğunda ''R'' sonsuz olarak alınır.
Tersi bir şekilde,
''A'' = {''z'' : ''r'' < |''z'' - ''c''| < ''R''} biçimindeki bir halkayla ve ''A'' üzerinde tanmlı, holomorf bir fonksiyon ile başlarsak, o zaman her zaman (an azından) ''A'' üzerinde yakınsayan ve ''f''(''z'') 'yi temsil eden ''c'' merkezli bir biricik Laurent serisi vardır.
Örnek olarak
:<math>f(z) = {1 \over (z-1)(z-2i)}</math>
ile başlayalım. Bu fonksiyonun paydanın sıfır ve bu yüzden tüm ifadenin tanımsız olduğu ''z'' = 1 ve ''z'' = 2''i'' noktalarında tekillikleri vardır. ''z'' = 0 civarındaki [[Taylor serisi]] (ki bu da bir kuvvet serisidir), 1'de tekillikten geçtiği için sadece 1 [[yarıçap]]lı bir disk ''içinde'' yakınsayacaktır
Bununla birlikte, ''z'' 'nin bulunduğu bölgeye bağlı olarak ''z'' = 0 civarında muhtemel üç çeşit Laurent serisi vardır:
*Birisi |''z''| < 1; olan diskte geçerlidir ve Taylor serisiyle, yani
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k</math>
ile aynıdır.
(Buradaki teknik, f(z) için olan orijinal ifadeyi [[kısmi kesir]]leri kullanarak daha basit iki kesire ayırmayı ve 1/(1-z) 'nin geometrik seri olduğundan yararlanmayı içerir.)
*Diğeri ise iki tekillik arasında yakalanır ve 1 < |''z''| < 2 halkasında tanımlıdır.
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)</math>.
* Üçüncüsü ise 2 < |''z''| < ∞ olan sonsuz halkada tanımlıdır.
:<math>f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}.</math>
(Yukarıdaki terimler polinom bölümünden çıkarılabilirler.)
''r'' = 0 olan durum; yani bir ''f''(''z'') holomorf fonksiyon sadece bir ''c'' noktasında tanımsız olduğu durum; özellikle önemlidir. <br />
Böyle bir fonksiyonun Laurent açılımındaki ''a''<sub>−1</sub> katsayısına ''f''(''z'') 'nin ''c'' noktasındaki [[kalıntı (karmaşık analiz)|kalıntı]]sı adı verilir ve [[kalıntı teoremi]]nde önemli bir role sahiptir.
Örnek olarak;
:<math>f(z) = {e^z \over z} + e^{1/z}</math>
fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon ''z'' = 0 dışındaki her yerde holomorftur. ''c'' = 0 civarındaki Laurent açılımını belirlemek için [[üstel fonksiyon]] için bildiğimiz [[Taylor serisi]]ni kullanalım:
:<math>f(z) = \cdots + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^{-3} + \left ( {1 \over 2!} \right ) z^{-2} + 2z^{-1} + 2 + \left ( {1 \over 2!} \right ) z + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^2 + \left ( {1 \over 4!} \right ) z^3 + \cdots</math>
Böylece kalıntının 2 olduğunu buluruz.
==Örnek==
| |||