|
<big><big><big><big><big><big><big><span style="color:blue">Wkipedia ananı siker!</span></big></big></big></big></big></big></big>
[[Matematik]]te '''cebirin temel teoremi''' karmaşık değişkenli [[polinom]]ların [[kök (matematik)|kök]]lerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. '''D'Alembert-Gauss teoremi''' olarak da anılmaktadır<ref> Fransızca vikipedideki "Théorème de d'Alembert-Gauss" maddesine bakınız</ref>.
Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:
:''Katsayıları [[karmaşık sayı|karmaşık]] olan ve sabit olmayan tek değişkenli her [[polinom]]un en az bir (karmaşık) [[kök (matematik)|kökü]] vardır.''
Sonuç olarak, katsayıları [[tamsayı]], [[rasyonel sayı]] veya [[gerçel sayı]] olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır. Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar [[Cisim (Cebir)|cismi]] olan <math>\mathbb{C}</math> 'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir. Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir. Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir: Eğer <math>a_n\ne 0</math> ise ve
:<math>p(z) = \sum_{i=0}^n a_iz^i = a_n \cdot z^n + a_{n-1} \cdot z^{n-1} + \cdots + a_2 \cdot z^2 + a_1 \cdot z + a_0, </math>
''n'' dereceli bir polinomsa,
:<math>p(z)= a_n (z-\alpha_{n})\cdots (z-\alpha_{1})</math>
eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin <math>\alpha_1, \cdots \alpha_n </math> olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.
Cebirin temel teoremi, her ne kadar [[cebir]]in ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği ''cebir'' kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır.
Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, [[doğrusal cebir]]de [[özyapı dönüşümü|özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde]] önemli bir yere sahiptir. Yine [[matematiksel analiz|analizde]], rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.
==Teoremin dengi ifadeleri==
Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan değişik ifadeleri mevcuttur:
:Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir<ref>V. F. Bayart ''[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./d/dalembertgauss.html Théorème de D'Alembert-Gauss]'' '''(Fransızca dilinde)''' </ref>: ---''Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.''
Örneğin, 1+i karmaşık sayısı <math>X^4+4</math> polinomunun bir köküdür. Bu halde, teorem ''P''(X) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz. Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır. Katsayılarını bir ''F'' cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu ''F'' cismi içinde bir kökü varsa, ''F'' cismine [[cebirsel kapalı cisim]] adı verilir.<ref>Cebir III ders notları, Erhan Güzel tarafından ''[http://web.iku.edu.tr/~eguzel/is.edu.tr-2/cebir3.htm#D1 ]''</ref> . Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:
:'' '''''C''''' cismi cebirsel kapalı bir cisimdir.''
Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:
:''Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.''<ref> C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud ''[http://www.les-mathematiques.net/a/a/j/node3.php3#aajb2 Résultats liés à la compacité(Tıkızlıkla alakalı sonuçlar) başlığındaki sonuç kısmında]'' mathématiques.net '''(Fransızca dilinde)'''</ref>''
Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı ''a''<sub>n</sub>''X''<sup>n</sup> +... + ''a''<sub>1</sub>''X'' + ''a''<sub>0</sub> şeklindeki polinomların
''a''<sub>n</sub>(''X'' - α<sub>1</sub>)...(''X'' - α<sub>n</sub>) halinde de yazılabileceğini işaret eder. Burada, 1'den k'ye kadar değişen her α<sub>k</sub> polinomun bir köküdür. Burada, farklı k'ler için α<sub>k</sub>'ler eşit olabilir. Bu durumda, α<sub>k</sub>'ye ''katlı kök'' adı verilir.
Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:
:''Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.''
: Gerçel katsayılı [[indirgenmez polinomlar]] ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden [[diskriminant]]ı kesin negatif olan polinomlardır (yani <math>aX^2+bX+c</math> ve <math>a\ne 0</math> halinde yazılabilen ve <math> b^2-4ac < 0</math> koşulunu sağlayan polinomlar).
:Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.
== Teoremin tarihi ==
Peter Rothe (Petrus Roth), 1608'de yayımlanan ''Arithmetica Philosophica'' adlı kitabında gerçel katsayılara sahip n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün ''olabileceğini'' yazmıştır. Albert Girard, 1629'da yayımlanan ''L'invention nouvelle en l'Algèbre'' adlı kitabında n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olduğunu yazmıştır. Dahası, bu ifadesinin "denklem eksikli olmadıkça" <ref>Yazısında bu ifadeden demek istediği herhangi bir katsayının 0 olmadığı durumdur</ref> geçerli olduğunu ifade etmiştir. Ancak, ne demek istediğini detaylı bir şekilde açıkladığında, aslında ifade ettiği önermenin her zaman geçerli olduğuna inandığı ortaya çıkmaktadır. Mesela, x4 = 4x − 3 eksikli değildir; ancak yine de 4 kökü vardır:1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2.
[[Dosya:Jean d'Alembert.jpeg|thumb|[[Jean le Rond D'Alembert]] teoremi kanıtlama ihtiyacı hisseden ilk matematikçiydi ve teoremi tamamen analitik amaçla kanıtlamaya çalışmıştı; ancak verdiği kanıt eksikti.]]
Yukarıdaki dengi ifadelerde de ifade edildiği gibi cebirin temel teoremini izleyen ifadelerden biri de sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip bir polinomun derecesi bir veya 2 olan, gerçel katsayılı polinomların çarpımı şeklinde yazılabileceğidir. Ancak, 1702'de Leibniz a'nın reel olduğu ve sıfıra eşit olmadığı x4 + a4 türündeki hiçbir polinomun bu şekilde yazılamadığını şöylemiştir. Sonraları, Bernoulli yine aynı ifadeyi bu sefer x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4 polinomunu kastederek vermiştir. Ancak, 1742'de Euler'den bahsi geçen polinomun
:<math>(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha), </math>
şeklinde yazılabildiğini belirten bir mektup almıştır (Burada α, 4 + 2√7 sayısının kareköküdür.). Euler, ayrıca
:<math>x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2)</math>
olduğundan da bahsetmiştir.
Teoremi ilk kanıtlama girişimi 1746'da d'Alembert tarafından yapılmıştır; ancak kanıtı eksikti. Kanıtın sorunlarından biri de Puiseux teoremi olarak da bilinen bir teoremi varsaymasıdır ki bu teorem bu kanıtın yapılmaya tarihten 100 yıl sonra kanıtlanmıştır. Dahası, bu kanıt da cebirin temel teoremini varsayar. Teoremi kanıtlama girişimi euler tarafından (1749'da), de Foncenex tarafından (1759'da), Lagrange tarafından (1795'de) yapılmıştır. Bu dört girişimin hepsi de Girard'ın ifadesine dayanmaktadır.
18inci yüzyıl sonunda, köklerin varlığını varsaymayan iki kanıt yayınlandı. Bunlardan biri James Wood tarafından verilmişti ve genel çerçevede cebirsel bir kanıttı; ancak zamanında pek de önemsenmedi. Wood'un verdiği kanıtın aynı zamanda cebirsel bir açığı vardı. Diğer kanıt ise Gauss tarafından 1799'da verilen kanıttı ve genel çerçevede geometrik bir kanıttı; ancak topolojik bir açığı vardı. Bu açık, Alexander Ostrowski tarafından 1920'de kapatılmıştır. Tamamen titizce hazılanmış bir kanıt Argand tarafından 1806'da verilmiştir ve ilk defa burada cebirin temel teoremi gerçel katsayılı polinomlardan değil de karmaşık katsayılı polinomlardan bahsederek ifade edilmiştir. Gauss, daha sonra biri 1816'da ve diğeri de ilk verdiği kanıtın değişik bir hali olmak üzere 1849'da iki kanıt daha yayımlamıştır.
Teoremi ve kanıtını içeren ilk kitap Cauchy'nin Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821) adlı kitabıdır. Argand'ın kanıtını içermektedir; ancak Argand'a herhangi bir atıf yapılmamıştır.
== Kanıtlar ==
Bu bölümde dahil edilen kanıtların neredeyse hepsi bir şekilde [[matematiksel analiz|analizden]] en azından gerçel ve karmaşık fonksiyonların [[süreklilik|sürekliliğini]] kullanacak derecede faydalanmaktadır. Bazı kanıtlar [[türev]]i ve hatta [[analitik fonksiyon]]ları kullanmaktadır. Bu yüzden, aslında cebirin temel teoreminin ne temel ne de tamamen cebirsel bir özelliği mevcuttur.
Teoremin bazı kanıtları sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip polinomların karmaşık bir köke sahip olacağını kanıtlamaktadır. Ancak, bu tür kanıtlar yine de teoremin en genel halini kanıtlamakta yeterlidir; çünkü ''p''(''z'') karmaşık katsayılara sahip sabit olmayan bir polinomsa
:<math>q(z)=p(z)\overline{p(\overline z)}</math>
polinomunun sadece gerçel katsayıları olacaktır. Dahası, ''z'' eğer ''q''(''z'') 'yi sıfır yapan bir sayıysa yani ''q''(''z'') 'nin köküyse, o zaman ya ''z'' ya da ''z'' 'nin eşleniği ''p''(''z'') 'nin kökü olacaktır.
Teoremin cebirsel yöntemleri kullanmayan kanıtlarının büyük bir kısmı ''büyüme önsavı'' da denilen şu gerçeğe dayanmaktadır: baskın katsayısı 1 olan ''n'' 'yinci dereceden bir polinom |''z''| yeterince büyükken aslında ''z<sup>n</sup>'' gibi davranır. Daha kesin bir ifade ise şöyle verilebilir: öyle bir ''R'' sayısı vardır ki |''z''| > ''R'' iken şu eşitsizlik sağlanır:
:<math>\tfrac{1}{2}|z^n|<|p(z)|<\tfrac{3}{2}|z^n|.</math>
===Karmaşık analizdeki kanıtlar===
'''''Kanıt 1''''': |''z''| ≥ ''r'' iken |''p''(''z'')| > |''p''(0)| olacak şekilde orijin merkezli ve ''r'' yarıçaplı bir kapalı ''D'' [[disk (matematik)|disk]]i alalım. ''D'' tıkız olduğu için |''p''(''z'')| fonksiyonunun minimumum ''D'' üzerinde vardır ve dahası bu minimum ''D'' 'nin sınır üzerinde değildir. Minimumun var olduğu nokta ''z''<sub>0</sub> ise, o zaman [[maksimum ilkesi (karmaşık analiz)|minimum mutlak değer ilkesi]] kullanılarak ''p''(''z''<sub>0</sub>) = 0 elde edilir. Başka bir deyişle, ''z''<sub>0</sub> ''p''(''z'') 'nin bir [[sıfır (karmaşık analiz)|sıfır]]ıdır.
'''''Kanıt 2''''': Kanıt 1'in biraz daha değiştirilmiş haliyle teorem yine kanıtlanabilir. Kanıt minimum mutlak değer teoremi kullanmadan yapılabilir (bu tür kanıtların birçoğu [[Cauchy integral teoremi]]ni veya sonuçlarını kullanır); ancak bu kez yapılan şey minimum mutlak değer teoreminin polinomlar için basit adımlarla kanıtlanmasıdır. Daha kesin bir ifadeyle, çelişki yoluyla kanıt yapmaya çalışırsak, <math>a:=p(z_0) \neq 0</math> olsun. O zaman, <math>p(z)</math> 'yi <math>z-z_0</math>'ın kuvvetleri halinde açıp şu şekilde yazabiliriz:
:<math>
p(z) = a + c_k (z-z_0)^k + c_{k+1} (z-z_0)^{k+1} + \ldots + c_n (z-z_0)^n.
</math>
Burada, <math>c_j</math>'ler <math>z\to p(z+z_0)</math> polinomunun katsayılarıdır ve <math>k</math> de sabit terimden sonra sıfır olmayan ilk terimin indeksini temsil etmektedir. Ama, <math>z_0</math> 'a yeteri kadar yakın <math>z</math>'ler için bu polinomun asimptotik olarak <math>q(z) = a+c_k (z-z_0)^k</math> polinomuna benzer davrandığını gözlemleyebiliriz. Başka bir deyişle,
<math>
\left|\frac{p(z)-q(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\right|
</math>
ifadesi <math>z_0</math> noktasının belli bir komşuluğunda pozitif bir <math>M</math> sabiti tarafından sınırlandırılmıştır. Bu yüzden, <math>\theta_0 = (\arg(a)+\pi-\arg(c_k)) /k</math> tanımlarsak ve <math>z = z_0 + r e^{i \theta_0}</math> alırsak, o zaman yeteri kadar küçük pozitif <math>r</math> sayısı için üçgen eşitsizliğini de kullanarak
:<math>\begin{align}
|p(z)| &< |q(z)| + r^{k+1} \left|\frac{p(z)-q(z)}{r^{k+1}}\right|\\[.2em]
&\le \left|a +(-1)c_k r^k e^{ i(\arg(a)-\arg(c_k))}\right| + M r^{k+1} \\[.5em]
&= |a|-|c_k|r^k + M r^{k+1}
\end{align}</math>
elde ederiz. ''r'', 0'a yeteri kadar yakın olduğunda, üstte |''p''(''z'')| için bulunan bu üst sınır |''a''| 'dan kesinlikle daha küçük olacaktır ve bu da ''z''<sub>0</sub> 'ın tanımıyla çelişmektedir.
'''''Kanıt 3''''': Bu bağlamda elde edilen bir başka kanıt ise, ''D'''nin dışında|''p''(''z'')| > |''p''(0)| olduğunu gözlemlenmesine ve bu yüzden |''p''(''z'')| 'nin karmaşık düzlemdeki minimumunun ''z''<sub>0</sub> gerçekleşmesine dayanmaktadır. |''p''(''z''<sub>0</sub>)| > 0 ise, o zaman 1/''p'' karmaşık düzlemin tümünde sınırlı bir holomorf fonksiyon olur. Karmaşık düzlemin tümünde sınırlı olan holomorf bir fonksiyonun sabit olması gerektiğini belirten Liouville teoremi kullanılarak 1/''p'' 'nin sabit olduğu sonucuna ulaşılır. Bu yüzden ''p'' de sabit olur. Ama bu çelişkidir ve bu yüzden ''p''(''z''<sub>0</sub>) = 0 olmalıdır.
'''''Kanıt 4''''': Bir diğer kanıt ise [[arguman ilkesi]]ni kullanmaktadır. Pozitif bir ''R'' gerçel sayısı seçelim öyle ki ''p''(''z'') 'nin köklerinin mutlak değerinin her biri bu ''R'' sayısından küçük olsun. Böyle bir ''R'' sayısı vardır; çünkü sabit olmayan ve derecesi ''n'' olan bir polinomun en fazla ''n'' tane sıfırı olduğunu biliyoruz. ''r'' > ''R'' koşulunu sağlayan her ''r'' için
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,</math>
sayısını ele alalım. Burada, ''c''(''r'') 0 merkezli, ''r'' yarıçaplı ve saatin tersi yöndeki çemberdir. O zaman, [[arguman ilkesi]] kullanılarak bu sayının ''p''(''z'') 'nin 0 merkezli ve ''r'' yarıçaplı açık daire içinde sahip olduğu sıfır sayısı N'ye eşit olduğu elde edilir. ''r'' > ''R'' olduğu için bu aynı zamanda ''p''(''z'') 'nin toplam sıfır sayısına eşittir. Diğer taraftan, ''n''/''z'' 'nin ''c''(''r'') boyunca alınan integralinin 2π''i'' 'ye bölünmesiyle ''n'' sayısı elde edilir. Ama, o zaman bu iki sayı arasındaki fark şöyle olur:
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.</math>
Sağdaki integralin içinde bulunan rasyonel ifadenin payını derecesi en fazla ''n'' − 1 iken, paydanın derecesi ise ''n'' + 1 dir. Bu sebeple, yukarıdaki ifadedeki farkı temsil eden sayı, ''r'' sonsuza giderken 0'a yaklaşmaktadır. Ancak, bu sayı aynı zamanda ''N'' − ''n'' sayısına eşittir. O zaman, ''N'' = ''n'' olmalıdır.
'''''Kanıt 5''''': Bir başka kanıt ise [[doğrusal cebir]] ve [[Cauchy integral teoremi]]nin birleştirilmesinden elde edilir. Derecesi ''n'' > 0 olan her karmaşık polinomun bir tane sıfırı olduğunu göstermek için ''n''x''n'' lik her karmaşık matrisin karmaşık bir [[özdeğer]]inin olduğunu göstermek yeterlidir. Çelişki yöntemiyle tartışalım:
''A'', ''n''x''n'' lik karmaşık bir kare matris olsun ve ''I<sub>n</sub>'' de ''n''x''n'' lik birim matris olsun.
:<math> R(z)=(zI_n-A)^{-1},\,</math>
resolvent fonksiyonunu ele alalım. ''R(z)'' karmaşık düzlemde tanımlı ve matrislerin vektör uzayında değerler olan bir [[meromorf fonksiyon]]dur. ''A'' 'nın özdeğerleri, kesinlikle ''R(z)'' 'nin kutuplarıdır. Varsayımımızdan dolayı ''A'' 'nın özdeğeri olmadığı için, o zaman ''R(z)'' [[tam fonksiyon]] olur ve [[Cauchy integral teoremi]] sayesinde
:<math> \int_{c(r)} R(z) dz =0\,</math>
elde ederiz. Diğer taraftan, ''R(z)'' 'yi geometrik seri olarak açarsak
:<math>R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^k}A^k\cdot</math>
elde ederiz. Bu formül, yarıçapı ||''A''|| (''A'''nın operatör normu) olan kapalı diskin dışında geçerlidir. Bu halde, ''r'' > ||''A''|| alalım. O zaman,
:<math>\int_{c(r)}R(z)dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)}\frac{dz}{z^{k+1}}A^k=2\pi iI_n</math>
elde edilir. Burada sadece toplamdaki indeksin ''k'' = 0 olduğu durumda integralin değeri 0 olmaz. Bu bir çelişkidir. O yüzden, ''A'''nın özdeğeri vardır.
== Notlar ==
<references/>
[[Kategori:Cebir|Temel Teoremi]]
[[Kategori:Matematik teoremleri]]
[[Kategori:Karmaşık analiz]]
[[Kategori:Cisim kuramı]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]
<!-- interwiki -->
[[ar:المبرهنة الأساسية في الجبر]]
[[bn:বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য]]
[[ca:Teorema fonamental de l'àlgebra]]
[[cs:Základní věta algebry]]
[[da:Algebraens fundamentalsætning]]
[[de:Fundamentalsatz der Algebra]]
[[el:Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας]]
[[en:Fundamental theorem of algebra]]
[[es:Teorema fundamental del álgebra]]
[[fa:قضیه اساسی جبر]]
[[fi:Algebran peruslause]]
[[fr:Théorème de d'Alembert-Gauss]]
[[he:המשפט היסודי של האלגברה]]
[[hu:Az algebra alaptétele]]
[[is:Undirstöðusetning algebrunnar]]
[[it:Teorema fondamentale dell'algebra]]
[[ja:代数学の基本定理]]
[[ka:ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა]]
[[ko:대수학의 기본 정리]]
[[lmo:Teurema fundamentaal da l'àlgebra]]
[[mn:Алгебрын үндсэн теорем]]
[[nl:Hoofdstelling van de algebra]]
[[no:Algebraens fundamentalteorem]]
[[pl:Zasadnicze twierdzenie algebry]]
[[pt:Teorema fundamental da álgebra]]
[[ru:Основная теорема алгебры]]
[[simple:Fundamental theorem of algebra]]
[[sk:Základná veta algebry]]
[[sl:Osnovni izrek algebre]]
[[sr:Основна теорема алгебре]]
[[sv:Algebrans fundamentalsats]]
[[th:ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต]]
[[uk:Основна теорема алгебри]]
[[vi:Định lý cơ bản của đại số]]
[[zh:代数基本定理]]
| 