"Beklenen değer" sayfasının sürümleri arasındaki fark

k (Karakter hatası düzeltildi)
[[Olasılık kuramı]] bilim dalında '''matematiksel beklenti''' veya '''beklenenBeklenen değer''' veya '''ortalama''' birçok defa tekrarlanan ve her tekrarda mümkün tüm olasılıklarını değiştirmeyen rastgele deneyler sonuçlarından ''beklenen'' ortalama değeri temsil eder. Bir ayrıkbir [[rassal değişken]]nin alabileceği bütün sonuç değerlerin (bazan [[ödeme]]lerin), olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Bir sürekli rassal değişken için rassal değişken ile [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]]nun çarpımının aralığı belirsiz entegralidir. Fakat dikkat edilmelidir ki bu değerin genel pratik anlamla rasyonel olarak beklenmesi pek uygun olmayabilir, çünkü ''matematiksel beklenti''in olasılığı çok düşük belki sıfıra çok yakın olabilir ve hatta pratikte matematiksel beklenti bulunmaz. [[Ağırlıklı ortalama]] olarak da düşünülebilir ki değerler ağırlık katsayıları verilen [[olasılık kütle fonksiyonu]] veya [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]]dur.
 
== Tanım ==
Beklenen değer, beklenen değer işlemcisi ''E'' ile gösterilir. [[Rassal değişken]]nin sürekli veya ayrık olması durumuna göre beklenen değer şu şekilde hesaplanır.
===Pratik örneklerle belirleme===
'''Matematiksel beklenti''', beklenen değer işlemcisi ''E'' ile gösterilir. Hileli yanlı olmayan bir altı-köşeli zar atılırsa mümkün değerler (1 2 3 ...6) olup herbir değerin olasılığı (1/6) olur. Böylece tek bir zar atımı için ''matematiksel beklenti''
:<math> \operatorname{E}(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5 </math>
olur. Dikkat edilirse bu beklenen değer kesirsel olup gerçekte mümkün olan bir sonuç değildir.
 
<math>E[\Chi] = \begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx, & \Chi: \mbox{ surekli} \\ \sum_i x_i p(x_i), & \Chi: \mbox{ ayrik} \end{cases}</math>
'''Matematiksel beklenti''' kavramının pratikte çok kullanıldığı bir alan [[kumar oyunları]]dır. Bir Amerikan tipi [[rulet]] oyunu tekerleğinde dönen ufak topun herbirine aynı olasılıkla girip kalabileceği numara verilmiş 38 küçük delik vardir. Eğer topun gireceği deliğin numarası için bahse girilirse ve bu bahiste doğru bilişte kazanç [[bahis-olasılığı]] ile 35-te-1 olur; yani sonuç bahisin 36 misli olup koyulan para kaybedilmeyip 35 misli daha kazanç sağlanır. Herbir sonuça bahis için iki mümkün olay ''kaybetme'' veya ''kazanma'' ve bu iki mümkün olay için (kumar için çok kere [[bahis-olasılığı]] ile ifade edilen) olasılık vardır. Toplam mümkün 38 tane sonuç olabileceğine göre, tek bir numaraya 1TL konulursa kazancın beklenen değerini bulmak için
önce ''kaybetme para değeri'' ile ''kaybetme bahis-olasılığı'' çarpımı; sonra ''kazanma para değeri'' ile ''kazanma bahis-olasılığı'' çarpımı bulunup bu ikisinin toplamı alınır; yani
:<math>
\operatorname{E}(X) = \left( -1TL \times \frac{37}{38} \right) + \left( 35TL \times \frac{1}{38} \right) \approx -0.0526TL.
</math>
 
Beklenen değerin başka gösterimleri <math>m_{\Chi}</math>, <math>\mu_1</math> (<math>\mu</math> [[merkezsel moment]]) ve <math>E(\Chi)</math> olarak verilir. Yukarıdaki tanımda ''f(x)'' olasılık yoğunluk fonksiyonudur, ''p(x)'' ise [[olasılık fonksiyonu]] olarak adlandırılır. ''E'' işlemcisi [[doğrusal]] bir [[İşlemci (Matematik)|işlemcidir]]. İki fonksiyon da [[Normalizasyon (matematik)|normalize]] oldukları için sabit bir değerin beklenen değeri kendisine eşittir.
1TL bahis için mali durumdaki değişme, kaybedince -1TL ve kazanınca 35TL olur. Böylece, ortalama olarak, her yapılan 1TL değerde bahis için zarar 5 kuruşu biraz geçecektir ve 1TLlik bahsin ''matematiksel beklenti''si 0,9474TL olacaktır. Kumar oyunlarında, bir oyun için beklenen değer bahse koyulan değere eşitse (yani kumar oynayanın beklenen değeri 0 ise) o kumar oyunu "adil oyun" diye isimlendirilir.
 
===Matematiksel tanım===
Genel olarak, eğer <math>X\,</math> <math>(\Omega, \Sigma, P)\,</math> olan bir [[olasılık uzayı]] içinde bir [[rassal değişken]] ise, o halde <math>X\,</math>in '''matematiksel beklenti'''si, notasyon olarak değer işlemcisi ''E'' kulanarak, <math>\operatorname{E}(X)\,</math> veya bazan<math>\langle X \rangle</math>, or <math>\mathbb{E}(X)</math> olarak yazılır ve şöyle tanımlanır:
:<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P</math>
Burada [[Lebesgue entegrasyonu]] uygulanmıştır. Dikkat edilmelidir ki bütün rassal değişkenler için matematiksel beklenti değeri bulunmaz; bu entegral bulunmayıp anlamsız ise (örneğin [[Cauchy dağılımı]] için) o halde beklenen değer de tanımlanamaz ve anlamsızdır. Ayni [[olasılık dağılımı]] gösteren iki rassal değişken için matematiksel beklenti aynıdır.
Eğer <math>X</math> bir [[olasılık kütle fonksiyonu]] <math>p(x)</math> olan bir [[ayrık rassal değişken]] ise, o halde beklenen değer şu olur:
:<math>\operatorname{E}(X) = \sum_i x_i p(x_i) \,</math>
 
Eğer <math>X</math> bir [[sürekli rassal değişken]] olup [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] <math>f(x)</math> ise, o halde matematiksel beklenti veya beklenen deger şöyle bulunur:
:<math>\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .</math>
Olasılık yoğunluk fonksiyonu ''f(x)'' olan rassal değişken ''X'' için herhangi bir rastgele seçilmiş fonksiyon ''g(X)'' için matematiksel beklenti veya beklenen değer şöyle verilir:
:<math>\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \operatorname{d}x .</math>
 
== Özellikler ==
*<math>E[k]=k: k\in\mathbb{R}</math>
*<math>E[a\Chi+b]=aE[\Chi] + b: a,b\in\mathbb{R}</math>
=== İspat ===
::{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|<math>E[a\Chi+b]\,</math>
|<math>=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f(x)dx</math>
|-
|
|<math>=a \begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx} \\ E[\Chi] \end{matrix} + b \begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx} \\ 1 \end{matrix} </math>
|-
|
|<math>=aE[\Chi] + b\,</math>
|}
 
*<math>E[a\Chi + bY+c]=aE[\Chi]+bE[Y]+c: a,b,c\in\mathbb{R}</math>
===Sabitler===
*<math>E[\Chi Y]\neq E[\Chi]E[Y]</math> (Eğer ''X'' ve ''Y'' [[ilişkisiz]] ise <math>E[\Chi Y]=E[\Chi]E[Y]</math>)
Bir sabit k için matematiksel beklenti veya beklenen deger sabitin kendi değerine eşittir:
:<math>\operatorname{E}(k) = k: k\in\mathbb{R}</math>
 
{{Olasılık Dağılımlar Kuramı}}
===Monotonluk===
Eğer ''X'' ve ''Y'' iki rassal değişken ve <math>X \le Y </math> geçerli ise, o halde
:<math> \operatorname{E}(X) \le \operatorname{E}(Y)</math>.
olur.
 
===Doğrusallık===
 
'''Beklenen değer işlemcisi'''<math>\operatorname{E}</math> şu anlamlarda [[doğrusal işlemci|doğrusal]] olur:
 
:<math>\operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,</math>;
:<math>\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,</math>;
:<math>\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,</math>
Bu üç denklem sonucları birleştirilirse şu ifadeler bulunur:
:<math>\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,</math>
:<math>\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,</math>
 
Burada <math>X</math> ile <math>Y</math> aynı olasılık uzayında bulunan rassal değişkenler ve <math>a</math> ile <math>b</math> [[reel sayı]]lardır.
 
===Yinelenmiş beklenti===
 
====Ayrık rassal değişken için yinelenmiş beklenti====
 
Herhangi iki [[ayrık olasılık dağılımları|ayrık]] rassal değişken <math>X,Y</math> için [[koşullu beklenti]] şöyle tanımlanabilir:
 
:<math> \operatorname{E}(X|Y)(y) = \operatorname{E}(X|Y=y) = \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).</math>
 
Bundan <math>\operatorname{E}(X|Y)(y)</math> ifadesinin <math>y</math> üzerinde bir fonksiyon olduğu anlaşılır.
 
O zaman <math>X</math> için beklenti şu ifadeyi tatmin eder:
 
:<math>
\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right)= \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \,</math>
 
:::<math>=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\, </math>
 
:::<math>=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\, </math>
 
:::<math>=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \, </math>
 
:::<math>=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \, </math>
 
:::<math>=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \, </math>
 
:::<math>=\operatorname{E}(X).\, </math>
 
Böylece şu denklem ortaya çıkartılır:
 
:<math>\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).</math>
 
Bu denklemin sağ tarafı ''yinelenmiş beklenti'' adı ile anılır ve bazan ''kule kuralı'' adı da verilir. Bu [[toplam beklenti yasası]] maddesinde de incelenmiştir.
 
====Sürekli rassal değişken için yinelenmiş beklenti====
Herhangi iki [[sürekli olasılık dağılımları|sürekli]] rassal değişken <math>X, Y</math> için de sonuçlar ayrık rassal değişkenler halinin tamamiyle benzeridir. [[Koşullu beklenti]] tanımı eşitsizlikleri kullanır; olasılık yoğunluk fonksiyonları ile entegralleri olasılık kütle fonksiyonları ile toplamalar yerlerini alırlar. Sonunda aynı sonuç ortaya çıkar:
 
:<math>\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).</math>
 
===Eşitsizlik===
 
Eğer bir rassal değişken ''X'' diğer bir rassal değişken olan ''Y''den daha az veya ona eşitse ise,
 
: Eğer <math> X \leq Y</math>, o halde <math> \operatorname{E}(X) \leq \operatorname{E}(Y)</math> olur.
 
Özellikle <math> X \leq |X| </math> ve <math> -X \leq |X| </math> oldukları için, bir rassal değişkenin ''matematiksel beklenti''sinin (veya beklenen değerinin) mutlak değeri, mutlak değerinin matematiksel beklentisinden daha küçük olur veya ona eşittir:
:<math>|\operatorname{E}(X)| \leq \operatorname{E}(|X|)</math>
 
===Simgelenme===
 
(<math> \operatorname{E}(X) < \infty </math>) koşuluna uyan her bir negatif olmayan reel değerli rassal değişken ''X'' ve pozitif reel sayı <math> \alpha </math> için şu formül herzaman geçerlidir:
 
:<math> \operatorname{E}(X^\alpha) = \alpha \int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}\operatorname{P}(X>t) \, \operatorname{d}t.</math>
 
Özellikle bu daha da kısa olarak şöyle ifade edilebilir:
 
:<math> \operatorname{E}(X) = \int_{0}^{\infty} \lbrace 1-F(t) \rbrace \, \operatorname{d}t.</math>
 
===Çarpımsallık özelliği olmama===
 
Genel olarak E beklenen değer işlemcisinin çarpımsallık özelliği bulunmaz, yani <math>\operatorname{E}(X Y)</math> ile <math>\operatorname{E}(X) \operatorname{E}(Y)</math> birbirine mutlaka eşit olmaz. Eğer çarpımsallık özelliği bulunursa, bu halde <math>X</math> ve <math>Y</math> rassal değişkenleri birbiri arasinda [[korelasyon]] bulunmayan değişkenler olarak tanımlanırlar. Aralarında [[bağımsızlık]] bulunan değişkenlerin birbirleri arasında korelasyon bulunmayan değişkenlere en önemli örneğin sağlarlar. Genellikle çarpımsal olmama özelliği [[kovaryasyon]] ve [[korelasyon]] analizlerine önemli bir neden sağlar.
 
===Fonksiyonel daimilik olmaması===
Genel olarak beklenen değer işlemcisi E'ye ve rassal değişkenler için [[fonksiyon(matematiksel)|fonksiyon]]lara [[değişmeli işlem]] uygulanamaz; yani
 
:<math>\operatorname{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \operatorname{d}P \neq g(\operatorname{E}(X)),</math>
 
Bu konuyla ilişkili en önemli konu konveks (veya konkav) fonksiyonlarla ilişkili olarak [[Jensen'in eşitsizliği]]dir.
 
==Matrisler için beklenti==
[[Matris]] matematiğine göre, <math>X</math> <math>m \times n</math> dereceli bir matris ise o halde bu matrisin matematiksel beklentisi (veya beklenen değeri) matris elamanlarının ayrı ayrı matematiksel beklentilerinin (veya beklenen değerlerinin) matrisi olur:
 
:<math>
\operatorname{E}(X)
=
\operatorname{E}
\begin{pmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\
x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\
\vdots \\
x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\operatorname{E}(x_{1,1}) & \operatorname{E}(x_{1,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{1,n}) \\
\operatorname{E}(x_{2,1}) & \operatorname{E}(x_{2,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{2,n}) \\
\vdots \\
\operatorname{E}(x_{m,1}) & \operatorname{E}(x_{m,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{m,n})
\end{pmatrix}.
</math>
 
Bu sonuç [[kovaryans matrisi|kovaryans matrisleri]] için kullanılır.
 
==Ayrıca bakınız==
 
*[[Koşullu beklenti]]
*[[Konum ve ölçek parametreleri için bir eşitsizlik]]
*[[Beklenti]]
*[[Pascal'in bahsi]]
*[[Momentler]]
*[[Beklenti değeri (kuantum mekanik)]]
*[[St.Petersburg paradoksu]]
*İktisat ve finans dallarında [[matematiksel beklenti]] önemli bir kavramdır.
 
==Kaynak==
 
*{{Kaynak wiki|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Expected_value|tarih= |dil=İngilizce|madde=Expected_value}}
 
==Dış bağlantılar==
* {{planetmath reference|id=505|title=Expectation}}(en:)
 
[[Kategori:İstatistik]]
[[Kategori:Olasılık dağılımlar kuramı]]
[[Kategori:Kumar oyunlari terimleri]]
 
<!--İnterviki-->
 
[[ar:قيمة متوقعة]]
[[ca:Esperança matemàtica]]
[[eo:Atendata valoro]]
[[es:Esperanza matemática]]
[[eu:Itxaropen matematiko]]
[[fa:میانگین]]
[[fa:امید ریاضی]]
[[fi:Odotusarvo]]
[[fr:Espérance mathématique]]
[[gl:Valor esperado]]
[[it:Valore atteso]]
[[he:תוחלת]]
[[hu:Várható érték]]
[[it:Valore atteso]]
[[ja:期待値]]
[[ko:기대값]]
34.095

değişiklik