Totient: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Değişiklik özeti yok |
Değişiklik özeti yok |
||
1. satır:
'''Totient''' (kısaca φ, ''n'') [[sayılar teorisi]]nde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında [[asal]] olan sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsveçli matematikçi [[Leonhard Euler]] tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden [[phi]](<math>\varphi</math>) ile simgelendiği için Phi fonksiyonu olarak da anılabilir.
11. satır:
==Totient fonksiyonunun hesaplanması==
Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre <math>\varphi(1)=1</math> ve eğer p bir asal sayıysa <math>\varphi(p^{k})=(p-1)p^{k-1}</math>.
Bunun yanında, ''m'' ve ''n'' aralarında asallarsa \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n). (Bu yargının ispatının anahattı: ''A'',''B'' ve ''C'' kümeleri sırasıyla ''m'',''n'' ve ''mn'' ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çin Kalan Teoremi'nden yararlanılırsa göürülür ki, ''AxB'' ve ''C'' arasında eşleme olur.) Yani, <math>\varphi</math> fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Eğer
<math>n=p_1^{k_1}\cdotsp_r^{k_r}</math>
Öyleyse
<math>\varphi(n)=(p_1-1)p_1^{k_1-1)\cdots(p_r-1)p_r^{k_r-1}</math>
Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle
<math>\varphi(n)=n\cdot\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math>
şeklinde yazılır.
===Hespalama Örneği===
<math>\varphi(36)=\varphi\left(3^2 2^2\right)=36\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=36\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=12</math>
Yani yazıyla ifade edersek, 36'nın asal sayı bölenleri 2 ve 3'tür. 36'nın yarısı olan 18 tane sayı iki ile bölünür, dolayısıyla 36 ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3te biri 3 ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.
==Fonksiyonun Bazı Değerleri==
İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:
[[Image:EulerPhi100.PNG|thumb|420px|right|[[Run chart]] of the first 100 values]]
{| class="wikitable"
! <math>\varphi(n)</math>
! +0 || +1 || +2 || +3 || +4 || +5 || +6 || +7 || +8 || +9
|-
! 0+
| || 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6
|-
!10+
| 4 || 10 || 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18
|-
!20+
| 8 || 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28
|-
!30+
| 8 || 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24
|-
!40+
| 16 || 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42
|-
!50+
| 20 || 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58
|-
!60+
| 16 || 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44
|-
!70+
| 24 || 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78
|-
!80+
| 32 || 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88
|-
!90+
| 24 || 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60
|}
==Fonksiyonun Özellikleri==
<math>\varphi(n)</math> sayısı aynı zamanda dairesel grup olan ''C''<sub>''n''</sub>nin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenle''C''<sub>''n''</sub>in her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. ''C''<sub>''n''</sub>nin algrupları ''C''<sub>''d''</sub> formundadır, eğer ''d'' böler ''n'' (''d'' | ''n'' şeklinde yazılır). Böylece
:<math>\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n</math>
Buradaki toplam ''n''nin tüm ''d'' positif bölenlerine kadar genişler.
Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve <math>\varphi(n)</math> için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:
:<math>\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu\left(\frac{n}{d} \right) </math>
öyle ki ''μ'' pozitif tamsayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.
Euler'in teoremine göre, eğer ''a'' ile ''n'' aralarında asallarsa, bu demektir ki, [[En büyük ortak bölen|ebob]](''a'', ''n'') = 1, yani
:<math> a^{\varphi(n)} \equiv 1\mod n.\,</math>
Bu durum Lagrange'ın teoremini ve ''a''nın <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>nin mod n'e göre tamsayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak ''a'' ile ''n'' aralarında asallarsa).
| |||