Vieta formülleri: Revizyonlar arasındaki fark

[[Matematik]]'te, özellikle de [[cebir]]de, [[François Viète]]'nin adıyla anılan '''Viète'nin formülleri''', bir [[polinom]]un [[kök (matematik)|kök]]leriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren [[formül]]lerdir.

 

Eğer

 

derecesi <math>n\ge 1</math> olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları [[karmaşık sayı|karmaşık]] sayılardan oluşuyorsa

(yani <math>a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n</math> sayıları kompleks, ve <math>a_n</math> sıfırdan farklı), [[Cebirin Temel Teoremi]]'ne göre <math>P(X)</math> <math>n</math> (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: <math>x_1, x_2, \dots, x_n.</math> Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\

(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\

 

 

 

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak <math>P(X)=aX^2 + bX + c</math> şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, <math>P(X)=0</math> denkleminin kökleri <math>x_1</math> ve <math>x_2</math> için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

Bu denklemlerden ilki ''P'' nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

 

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:

<math>a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)</math>

(<math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, <math>X.</math>'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterilebilir.

 

* [http://s3.dosya.cc/VietaForm_lleri.pdf.html Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri]

* [[:en:Viete]] (İngilizce)