Vikipedi

Yüzey: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Goblar (mesaj | katkılar)
190 değişiklik
Euler sayısı eklendi.
Goblar (mesaj | katkılar)
190 değişiklik
k "yüzeyin sınırı" öbekleri "yüzeyin kenarı"na değiştirildi.
1. satır:
[[Matematik|Matematikte]] ve özellikle [[Topoloji|topolojide]] '''yüzey''' iki boyutlu bir [[Çokkatlı|çokkatlı]] demektir. İki [[gerçel sayılar|gerçel]] değişkenli ve gerçel değerli bir [[Fonksiyon|fonksiyonun]] üç boyutlu uzayda ('''R'''<sup>3</sup>) grafiği tipik yüzey örneğidir. Ayrıca dünya yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu, bir [[Simit (MatematikTopoloji)|simit]] birer yüzeydir.
 
Bir yüzeyin 2 boyutlu bir çokkatlı olması, öncelikle onun (belirli özellikleri sağlayan) bir [[topolojik uzaylar|topolojik uzay]] olması demektir. Bunun yanında yüzeyin verilen (herhangi) bir ''x'' noktası çevresinde öyle bir [[Komşuluk (MatematikTopoloji)|komşuluk]] bulunabilir ki, bu komşuluk 2 boyutlu uzayın bir parçasına ''benzer''. Bu komşuluğa [[Yama (MatematikTopoloji)|yama]] denir. Bu benzeme uyarınca, ''x'' çevresinde sağ-sol ve yukarı-aşağı kavramları iyi bir biçimde tanımlanabilir. Daha iyi bir deyişle, ''x'''in çevresine bir koordinat sistemi döşenebilir. Böylece yüzey, bir düzlem parçası olmasa bile ''x'' çevresindeki noktalar bir düzlemdeymiş gibi koordinatlara sahip olur.
 
Dünya yüzeyi matematiksel olarak bir yüzeydir. Dünyanın çizilen her haritası, yukarıdaki anlamda bir koordinat sistemi tarif eder. Bu sayede denizcilikte yön bulma kolaylaşır ve iki denizci aynı koordinat sisteminde konuşarak birbirleriyle anlaşabilir. Dünya yüzeyi için standart koordinat sistemi, enlem ve boylamlarla verilir. Örneğin, dünya yüzeyinden gün dönümü çizgisi ve kutuplar silindiğinde kalan parçaya (<math>180^{\circ}</math> Doğu, <math>180^{\circ}</math> Batı) ila (<math>90^{\circ}</math> Kuzey, <math>90^{\circ}</math> Güney) koordinatları verilerek bu parça bir yamaya dönüştürülebilir. Gün dönümü çizgisi ya da kutupların silinmediği durumda bazı enlem-boylam çiftlerinin aynı noktayı tarif edeceklerine dikkat ediniz.
 
Topolojik bir yüzey, her zaman '''R'''<sup>3</sup>'te görülemeyebilir. Örneğin [[Gerçel izdüşümsel düzlem|gerçel izdüşümsel düzlem]] ya da [[Klein şişesi]] '''R'''<sup>3</sup>'te [[Gömme (MatematikTopoloji)|yatmazlar]] ancak '''R'''<sup>4</sup>'e [[Gömme (MatematikTopoloji)|gömülebilirler]]. Topolojinin temel teoremlerinden biri, bir yüzeyi gömebilmek için en fazla 4 boyuta ('''R'''<sup>4</sup>) gerek olduğunu söyler.
 
==Matematiksel tanım==
 
İki boyutlu bir çokkatlıya '''yüzey''' denir. Daha ayrıntılı bir söyleyişle, '''([[SınırKenar (MatematikTopoloji)|sınırıkenarı]] olmayan topolojik) yüzey''', aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:
* [[Hausdorff]]'tur;
* Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir [[Açık Küme|açık]] komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk '''R'''<sup>2</sup>'nin açık bir alt kümesine [[homeomorfizma|homeomorfiktir]];
* (Kimi tanımlarda) [[İkinci sayılabilirlik]] özelliğini sağlar;
* (Kimi tanımlarda) [[Parakompakt|Parakompakttır]].
 
Yukarıki tanımda ikinci koşulda '''R'''<sup>2</sup> yerine, üst yarı düzlemi (yani ikinci koordinatları negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere '''H'''<sup>2</sup> konduğunda, bu tanım, '''sınırıkenarı olan (kenarlı) topolojik bir yüzey''' tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için '''H'''<sup>2</sup> üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak '''R'''<sup>2</sup>'den [[Alt uzay topolojisi|tetiklenen topolojidir]].
 
SınırıKenarı olan bir yüzeyin sınırıkenarı olmayandan farklı olarak şu tür noktaları da vardır: noktanın yeterince küçük her komşuluğu '''H'''<sup>2</sup>'de çapı yarı düzlemin en altında oturan bir yarım daireye homeomorfiktir. Noktanın '''R'''<sup>2</sup>'de açık bir bölgeye homeomorfik bir komşuluğu olması söz konusu değildir. Sınırı olanKenarlı yüzeylere birkaç örnek: düzlemde [[Kapalı|kapalı]] bir daire, kapalı bir [[Eğri|eğriyle]] çevrelenmiş bir düzlem bölgesi, bir yarıküre (içi boş), açık bir dairesel parçası koparılmış bir simit (yüzeyi).
 
Bir yüzeyin içinde bir [[Möbius şeridi]] varsa (yüzeye gömülebiliyorsa) bu yüzeye [[Yön Verilebilirlik|'''yön verilemez''']] denir.
İçinde bir Möbius şeridi yoksa böyle bir yüzeye '''yön verilebilir''' denir. Yön verilemez yüzeylere birkaç örnek: Möbius şeridi, gerçel izdüşümsel düzlem, Klein şişesi. Bunlardan Möbius şeridi sınırıkenarı (bir [[Çember|çember]]) olan bir yüzeyken diğerleri sınırı olmayankenarsız yüzeylerdir.
 
==Yüzeylerin sınıflandırılması==
 
Matematiğin temel uğraşlarından biri sınıflamadır. Tanımladığı bir nesne türünde, nesnelerin bazılarını bibirinden ayırdetmeden, olası tüm nesneleri listelemek sınıflamadaki amaçtır. Dolayısıyla yukarıda soyut tanımı verilen yüzeylerin tümünü listelemek, topolojinin ilgilendiği bir sorudur. Bunu yaparken iki homeomorfik yüzeyi bir tutar, bunların arasında ayrım gözetmez. Bu koşullar altında listeyi oluşturmaya çalışır. Örneğin bu listede (içi boş) bir küp ve bir [[Küre|küre]] birlikte görünmeyecektir; yalnızca biri listede yer alacaktır çünkü bu iki yüzey, '''R'''<sup>3</sup>'ten tetiklenen topolojileriyle birbirine homeomorfik yüzeylerdir.
Şu ve benzeri soruların yanıtlanması gerekir: bir küreyle bir simit birbirine homeomorfik midir? Möbius şeridiyle daire? SınırıKenarı olan yüzeyle olmayan? Yön verilebilir olanla olmayan? vs.
 
Yüzeylerin sınıflandırılması problemi ilk kez [[August Ferdinand Möbius]] tarafından çalışılmış ve '''R'''<sup> 3 </sup>'te yatan yön verilebilir yüzeyler için 1870 yılında sonuç ilan edilmiştir. Max Wilhelm Dehn ve P. Heegard 1907 yılında [[Üçgenlenebilir|üçgenlenebilir]] yüzeyler için tüm sınıflandırmayı vermiştir. Her topolojik yüzeyin üçgenlenebilir olduğunu 1925 yılında Tilbor Rado ispatlayarak sınıflandırmayı sona erdirmiştir.
 
Bu sınıflandırmaya göre, ''[[Tıkız|tıkız]], yön verilebilir, sınırı olmayankenarsız'' yüzeyler şunlardan biri(ne homeomorfik) olmak zorundadır:
 
[[Resim:yüzey sınıflandırması.jpg]]
39. satır:
Daireler oyarak yapıştırma işlemine [[Bağlantılı toplam|bağlantılı toplam]] denir. Üç delikli bir yüzey, çift delikli bir yüzeyle torusun bağlantılı toplamı olarak inşa edilebilir.
 
Bu sınıflandırmadan anlaşılıyor ki, tıkız, yön verilebilir, sınırı olmayankenarsız yüzeyler delik sayılarıyla anlatılabilirler. Kürenin delik sayısına 0 diyoruz. Simidin delik sayısı 1'dir.
 
Tıkız, yön verilebilir, sınırı olmayankenarsız '''S''' adlı bir yüzey için 2 - 2''g'' sayısı yüzeyin [[Euler sayısı|Euler sayısına]] eşittir ve şöyle gösterilir:
 
<math>\chi (S) = 2-2g</math>.
 
Yön verilemez yüzeyler için sınıflandırmaysa temelde aynı olmasına karşın, söz konusu yüzeylere daha az aşinayız. Tıkız, ''yön verilemez'', sınırı olmayankenarsız yüzeylerin en ''basiti'' '''gerçel izdüşümsel düzlemdir''' ('''RP'''<sup>2</sup>). Bu yüzey, bir Möbius şeridiyle bir dairenin sınırlarındankenarlarından birbirlerine yapıştırılmasıyla inşa edilir. Üzerindeki topoloji, bu yapıştırma aracılığıyla gelen bölüm topolojisidir. İki tane '''RP'''<sup>2</sup>'nin bağlantılı toplamına '''Klein şişesi''' ('''K'''<sup>2</sup>) denir:
 
'''K'''<sup>2</sup> = '''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup>
 
Bu işlem iki Möbius şeridinin sınırlarındankenarlarından birbirlerine yapıştırılmasından başka bir şey değildir.
Sınıflandırma şunu söyler: ''tıkız, yön verilemez, sınırı olmayankenarsız'' yüzeyler aşağıdakilerden biri(ne homeomorfik) olmak zorundadır:
 
'''RP'''<sup>2</sup>, '''K'''<sup>2</sup> = '''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup>, ('''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup>), ('''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup> # '''RP'''<sup>2</sup>), <math>\cdots</math>
62. satır:
<math>\chi (RP^2 \# RP^2 \# RP^2) = -1 ... </math>
 
Dolayısıyla, (tıkız, sınırı olmayankenarsız) bir yüzeyin Euler sayısını ve yön verilebilir mi değil mi olduğunu söylemek, yüzeyi anlatmaya yeter.
 
[[Kategori:Topoloji|*]]
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Yüzey" sayfasından alınmıştır