|
'''DİZİ''' Pozitif doğal sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine tanımlanan herhangi bir fonksiyona bir dizi denir. Eğer f:N-->R ve f(n)=x<sub>n</sub> ise x<sub>n</sub> ye dizinin genel terimi denir. Örneğin (x<sub>n</sub>)=3n-5 ise dizinin 1., 2., 3., ....,k.,.... terimleri sırasıyla {-2, 1, 4,, ...., 3k-5, ...} olur. <br>'''Seri''', bir [[dizi (matematik)|dizi]] olmak üzere <math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n + \ldots</math> toplamı. Bir seri kısaca <math>s_n = \sum_{i=0}^n a_i</math> şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriye ''pozitif terimli seri'', negatifse ''negatif terimli seri''; bir pozitif bir negatif ise ''alterne seri'' adı verilir. <math>s_0 = a_0</math>, <math>s_1 = a_0 + a_1</math>, <math>s_2 = a_0 + a_1 + a_2</math>, ..., <math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n</math> toplamlarına serinin kısmi toplamları, (s<sub>0</sub>, s<sub>1</sub>, ..., s<sub>n</sub>, ...) dizisine de ''kısmi toplamlar dizisi'' denir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.
Yakınsak bir serinin genel terimi zorunlu olarak sıfıra yaklaşır. Buna göre yakınsak bir serinin genel terimin limiti (yani n sonsuza giderken) sıfır olamk zorundadır, bunun tersi doğru değildir. Iraksak bir serinin genel teriminin limiti ya farklı sıfırdır yada yoktur. <br>Dizilerde ve serilerde [[yakınsaklık]] kavramı çok önemlidir. Bir serinin sonsuz teriminin toplamı belli bir sayı ise, bu seriye yakınsak seri denir. Diğer taraftan bir seri dizisi olduğundan ve genel terimin [[limit]]i mevcut olan bir dizi yakınsak olacağından <math> S = \lim_{n\rightarrow \infty}s_n</math>, yani kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seri de yakınsaktır.
Bir serinin yakınsaklığını araştırmak için, S<sub>n</sub> kısmitoplamının toplamlar dizisininiçin limitine bakılır. Sonlu bir sayı bulunursa, seri yakınsaktır denir. Mesela <math>s_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n(n+1)}</math> serisinde <math>s_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}</math> toplamı, <math>\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}</math> yazılacak <math>\frac{n}{n+1}</math> bulunur. Limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}</math> serisi ise Sn toplamı bulunamadığı için [[ıraksak]]tır.
<math>\sum_{i=1}^n (-1)^n = -1+1-1+1-\ldots</math> serisinin de belli bir toplamı olmadığı için ıraksaktır.
|
