Dizi: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
k Noktalama dz. |
parametre değişikliği |
||
9. satır:
== Örnekler ve gösterim ==
Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir. [[Dizinin limiti|
Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtlenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1, 3, 5, 7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1, 3, 5, 7, ...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada bir [[örüntü]] kullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.
=== Önemli örnekler ===
[[Dosya:FibonacciBlocks.svg|küçükresim|
Birçok önemli tam sayı dizisi vardır. [[Asal sayı]]lar, 1'den büyük fakat [[1 (sayı)|1]] ve kendilerinden başka [[Bölme|bölen]]leri olmayan [[doğal sayı]]lardır. Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak, [[matematik]] ve özellikle [[sayılar teorisi]] için önemlidir.
47. satır:
:<math>(a_k)_{k=1}^\infty, \qquad a_k = k^2.</math>
Bunun gibi indisleme sayıları kümesinin anlaşılması için [[matematiksel analiz|analizde]] alt indisler ve üst indisler sıkça kullanılır. Bir keyfi dizi için ''a<sub>k</sub>'' basit yazımı kullanılabilir. Analizde ''k'' 1'den
:<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2,... ).</math>
Bazı durumlarda dizinin terimleri, örüntüsü kolayca anlaşılabilen bir tam sayılar dizisi ile ilgilidir. Bu durumda, ilk birkaç soyut terim listelenerek [[indis kümesi]]nin geri kalan terimlerinin ne olduğu anlaşılabilir. Örneğin, [[Çift ve tek sayılar|tek sayılar]] aşağıdaki gösterimlerden herhangi biriyle ifade edilebilir.
57. satır:
# <math>((2k-1)^2)_{k=1}^\infty</math>
Diğer taraftan, eğer 3., 4 ve 5. gösterimlerdeki indisleme kümesinin [[doğal sayılar]] olduğu anlaşılabilirse alt indisler ve üst indisler gösterilmeyebilir.
Sonuçta diziler, bir [[küme]] alt indisle birlikte yazmayı en genel biçimde ifade edebilir, şöyle ki:
67. satır:
=== Tanım ===
Bir dizi genellikle [[tanım kümesi]] sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir [[fonksiyon]] olarak tanımlanabilir. [[Gerçel analiz|Reel
[[Karmaşık analiz]]de dizi, '''N''' doğal sayılarından <math>\mathbf{C}</math> (veya {{Matematik|ℂ}} veya <math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) [[karmaşık sayı]]larına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. [[Topoloji]]de dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden [[topolojik uzay]]ına kadar olan fonksiyonları tanımlar.
=== Sonlu ve sonsuz ===
Bir dizinin '''uzunluğu''', dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.
''n'' sonlu uzunluklu bir dizi, ''n'' [[Demet (matematik)|
Normalde ''sonsuz dizi'' kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; ''sonlu dizi'', diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, ''çift sonsuz dizi'', veya ''iki yönlü sonsuz dizi'' olarak adlandırılır. Örneğin; '''tüm''' [[tam sayı]]lardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…) [[Çift ve tek sayılar|çift]] tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, <math>(2n)_{n=-\infty}^{\infty}</math> olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi '''Z''' deki bir harita olarak tanımlanabilir.
Tek sonsuz dizi, ''R''['''N'''] doğal sayılarının [[Grup halka|yarıgrup
=== Artma ve azalma ===
89. satır:
=== Diğer dizi türleri ===
Verilen bir dizinin bazı terimlerinin silinmesi, geri kalan terimlerin konumlarını dağıtmayacak forma dönüştüren diziye
'''[[altdizi]]''' denir. Örneğin (2, 4, 6, ...) çift tam sayılar dizisi, (1, 2, 3 ,4, ...) pozitif tam sayılar dizisinin bir altdizisidir. Diğer terimleri silindiğinde, geri kalanları konumları değişmiş, fakat öncelik sıraları değişmemiştir.
Bazı diğer dizi türlerini şu şekilde kolayca tanımlanabilir:
95. satır:
*Bir '''[[polinom dizi]]''', terimleri [[polinom]] olan bir dizidir.
*Eğer ''n'' ve ''m'' [[aralarında asal]] ise, tüm ''n'' ve ''m'' çiftleri için ''a''<sub>''nm''</sub> = ''a''<sub>''n''</sub> ''a''<sub>''m''</sub> oluyorsa, pozitif tam sayı dizisine, çarpan olarak adlandırılır. Başka bir ifade ile tüm ''n'' için eğer ''a''<sub>''n''</sub> = ''na''<sub>1</sub> oluyorsa, çarpan dizidir. Ayrıca [[gecikmeli Fibonacci üreteci|''çarpanlı'' Fibonacci dizisi]]nin tekrarlı ilişkisi de bir dizidir, şöyle ki: ''a''<sub>''n''</sub> = ''a''<sub>''n''−1</sub> ''a''<sub>''n''−2</sub>.
== Limitler ve yakınsaklık ==▼
▲== Limitler ve yakınsaklık ==
{{Ana|Dizinin limiti}}
[[Dosya:Converging Sequence example.svg|320px|küçükresim|(''a<sub>n</sub>'') yakınsak dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. ''n'' artarken dizinin limitinin sıfıra yaklaştığı görülebiliyor.]]
Dizinin en önemli özelliklerinden biri de ''yakınsaklık''tır. En basit anlamda eğer bir [[dizinin limiti]] varsa, "dizi yakınsaktır" denir. Yani bir ([[Dizi#Sonlu ve sonsuz|tek sonlu dizi]]nde ''n'' çok çok büyük olduğunda ''L'' limite yaklaşırsa, "dizinin limiti vardır" denir. Bir (''a''<sub>''n''</sub>) soyut dizisinde ''n'' → ∞ (''n'' sonsuza giderken) ''a''<sub>''n''</sub>, ''L'' ye yakınsar.
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = L.</math>
| |||