Cebirsel topoloji: Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
İçerik silindi İçerik eklendi
parametre değişikliği
parametre değişikliği
37. satır:
 
=== Homoloji grupları ===
[[Homoloji (matematik)|Homoloji]] grupları <math>H_k(X)</math> ile gösterilen gruplardır. Temel grubun aksine homoloji gruplarının inşaları zor, hesaplanabilirlikleri kolaydır. Her <math>X</math> uzayına, <math>C(X)</math> ile gösterilen bir [[zincir kompleksi]] denk gelir. Zincir kompleksi, tanım gereği, bir değişmeli grup dizisinden ibarettir. <math>C(X)</math> in elemanları <math>C_j(X)</math> ile gösterilir. Bu zincir kompleksinin ardıl koordinatları, <math>\scriptstyle\partial</math> ile gösterilen sınır morfizmazları ile bağlanmıştır. Başka bir ifadeyle,
:<math>\dotsb\overset{\scriptstyle\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\scriptstyle\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\scriptstyle\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\scriptstyle\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\scriptstyle\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\scriptstyle\partial_0}{\longrightarrow\,} 0</math>
ifadesi <math>C(X)</math> i göstermektedir. Bu <math>\scriptstyle\partial</math> gönderimlerinin temel özelliği <math>\scriptstyle\partial\scriptstyle\partial=0</math> olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin, yani [[çekirdeğinin]], içindedir. İmaj gruplarını <math>B_k(X)</math> ve çekirdekleri <math>Z_k(X)</math> ile gösterirsek, <math>H_k(X)</math> grubu <math>Z_k(X)</math> in <math>B_k(X)</math> e bölümü ile bulunur.
 
Yukarıda tanımlanan <math>H_k(X)</math> grupları, <math>C(X)</math>˙gruplarının fonksiyonları olduklarından, <math>C(X)</math> değiştirildiğinde farklı <math>H_k(X)</math> grupları elde edilir. <math>C(X)</math> in inşasına göre, <math>H_k(X)</math> lere değişik isimler verilir. <math>C(X)</math> grubu, <math>X</math> uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu <math>CW</math> kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.
 
Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir. <math>T</math> ile objeleri <math>(X,A)</math> olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim. <math>H</math> izleci her <math>(X,A)</math> ikilisine bir basamaklı değişmeli grup <math>(H_k(X,A))</math> ve her sürekli gönderim <math>f: (X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>(Y,B)</math> ye de bir morfizma <math>f_*:H_k(X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>H_k(Y,B)</math> atar. Ayrıca, <math>H_k(X,A)</math> ile <math>H_k(A)</math> arasında <math>\scriptstyle\partial_*: H_k(X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>H_{k-1}(A)</math> doğal geçiş izleçleri vardır. <math>H</math> nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.
 
(1) Homotopy Koşulu: <math>f, g: (X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>(Y,B)</math> haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.
 
(2) Tamlık Koşulu: <math>\iota \colon A</math><math>\rightarrow</math> <math>X</math> ve <math>j\colon X</math><math>\rightarrow</math> <math>(X,A)</math>, doğal alt uzaylık haritaları ise,
:<math>\dotsb\overset{\scriptstyle\partial_{*}}{\longrightarrow\,}H_k(A)
\overset{\iota}{\longrightarrow\,}H_k(X)
\overset{j_*}{\longrightarrow\,}H_k(X,A)
\overset{\scriptstyle\partial}{\longrightarrow\,} H_{k-1}(A)
\overset{\iota}{\longrightarrow\,} \dotsb</math>
tamdır.
80. satır:
\overset{\iota_{\sharp}}{\longrightarrow\,}\pi_k(X)
\overset{p_{\sharp}}{\longrightarrow\,}\pi_k(B)
\overset{\scriptstyle\partial_{\sharp}}{\longrightarrow\,} \pi_{k-1}(F)
\overset{}{\longrightarrow\,} \dotsb
\dotsb\overset{}{\longrightarrow\,}\pi_1(X)
88. satır:
\overset{}{\longrightarrow\,} \pi_{0}(B)
</math>
[[Dosya:Bundle_section.svg|küçükresim|200px200pik|sağ|{{Ortala|Fibrasyon Örneği}}]]
Bu tam-uzun zincirde kullanılan <math>p_{\sharp}</math> morfizması <math>p\colon X\rightarrow B</math> tarafından belirlenir. <math>\iota_{\sharp}</math> morfizması <math>F</math> doku kümesini <math>X</math> uzayına gömen <math>\iota\colon F\subset X</math> tarafından belirlenir. <math>\scriptstyle\partial_{\sharp}</math> ise bağlantı morfizmasıdır. <math>k\geq 1</math> için <math>\pi_k(X)</math> bir gruptur fakat <math>\pi_0(X)</math> bir grup değildir. Bundan dolayı, yukarıda verilen zincirin 0-ıncı basamağındaki "tam" lığı sadece tanım ve değer kümelerinin örtüşmesine denk gelir. Yandaki şekilde bir fibrasyon örneği izah edilmiştir. Resimde <math> X</math> uzayı <math>E</math> olarak alınmıştır. <math>F</math> uzayı, dörtgensel uzayın, yani <math>E</math> nin, içine çizilmiş siyah bölgedir.
 
== Cebirsel Topolojinin Temel Teoremleri ==
98. satır:
 
Bu teoremin homoloji versiyonu Mayer-Vietoris teoremidir.
 
'''Teorem :''' (Mayer-Vietoris) <math>X</math> uzayı <math>U,V</math> gibi iki altuzayın içlerinin birleşimi olsun. <math>\iota^U\colon U\cap V\rightarrow U</math>, <math>\iota^V\colon U\cap V\rightarrow V</math> ve <math>j^V\rightarrow U\cup V</math> gömmeleri
<math>0\overset{0}{\longrightarrow\,}C_k(U\cap V)
117. satır:
Homotopi ve homoloji grupları arasındaki münasepet Hurewicz teoremi olarak bilinmektedir:
 
'''Teorem :''' (Hurewicz Teoremi) <math>x_0\in X</math> olsun. <math>\pi_1(X,x_0)</math> ile <math>H_1(X)</math> eşyapılıdırlar. Bu izomorfizm <math>\pi_1(X,x_0)</math> ile <math> \pi_1(X,x_0)/[ \pi_1(X,x_0), \pi_1(X,x_0)]</math> doğal izomorfizma ile aynıdır.
 
Bu teoremin en aşikar örneği, <math>\pi_1(X,x_0)</math> değişmeli olduğunda <math>\pi_1(X,x_0)=H_1(X)</math> olmasıdır.
 
== Kaynakça ==