Özdeğer ayrışımı: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
Khutuck Bot (mesaj | katkılar) k Bot v3: Kaynak ve içerik düzenleme (hata bildir) |
enwikiden çeviri ile 'örnek' |
||
9. satır:
Özvektörler {{mvar|q<sub>i</sub>}} genellikle normaldir, ama bazen {{math|'''Q'''}}'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş {{mvar|n}} adet {{mvar|v<sub>i</sub>}} özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki {{math|'''Q'''<sup>−1</sup>}} ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.
Ayrışım,
:<math>\begin{align}
\mathbf{A} \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{v} \\
15. satır:
\mathbf{A} &= \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} .
\end{align}</math>
=== Örnek ===
2 × 2 boyutlu {{math|'''A'''}} matrisi
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}</math>
tekil olmayan {{math|'''B'''}} matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times2}.
</math>
Herhangi bir köşegen matrisi <math>C=\left[ \begin{smallmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{smallmatrix} \right]</math> için, <math>\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C}</math> özdeşliği:
: <math>\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x & 0 \\
0 & y
\end{bmatrix},
</math>
İki taraf da {{math|'''B'''}} ile çarpılırsa:
: <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}.</math>
Yukarıdaki denklem iki [[eşanlı denklem]]e ayrılır:
: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ cx \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} by \\ dy \end{bmatrix} \end{cases} .</math>
[[Özdeğer]]ler {{mvar|x}} ve {{mvar|y}} ayrıştırılır:
: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} </math>
Vektörleri isimlendirirsek:
:<math>\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix},</math>
iki vektör denklemi elde ederiz:
: <math> \begin{cases} A \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{a} \\ A \overrightarrow{b} = y \overrightarrow{b} \end{cases}</math>
İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
: <math>\mathbf{A} \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}</math>
burada {{mvar|λ}} iki özdeğeri ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}), {{math|'''u'''}} ise iki vektörü ({{math|{{vec|''a''}}}}, {{math|{{vec|''b''}}}}) içerir.
{{math|''λ'''''u'''}}'u sola kaydırıp {{math|'''u'''}}'yu ayırırsak:
:<math>(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{u} = \mathbf{0}</math>
{{math|'''B'''}} tekil olmadığı için {{math|'''u'''}} sıfırdan büyüktür. Yani,
: <math>\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0</math>
Böylece,
: <math>(1- \lambda)(3 - \lambda) = 0</math>
{{math|'''A'''}} matrisinin özdeğerlerini verir ({{math|1=''λ'' = 1}}, {{math|1=''λ'' = 3}}). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi <math>\left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{smallmatrix} \right]</math> olur.
Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
: <math> \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} </math>
ve bu denklemi çözersek:
:<math>a = -2c \quad\text{and} \quad b = 0, \qquad c,d \in \mathbb{R}.</math>
{{math|'''B'''}}'yi buluruz
:<math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}, </math>
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
: <math>\begin{bmatrix}
-2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}</math>
== Kaynakça ==
| |||