Cebirsel topoloji: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
1 kitap ekle (20210102)) #IABot (v2.0.7) (GreenC bot |
k Kısaltma ve noktalama düzeltmeleri |
||
7. satır:
(1) <math>f:X</math><math>\rightarrow</math><math> Y</math> ve <math>g:X</math><math>\rightarrow</math><math> Z</math> için
<math>(g\circ f)_*=g_*\circ f_*:G(X)\rightarrow G(Z)</math>
(1') Ya da <math>G</math>'nin cinsine göre <math>(g\circ f)_*=f_*\circ g_*:G(Z) \rightarrow G(X)</math>
olacak.
37. satır:
=== Homoloji grupları ===
[[Homoloji (matematik)|Homoloji]] grupları <math>H_k(X)</math> ile gösterilen gruplardır. Temel grubun aksine homoloji gruplarının inşaları zor, hesaplanabilirlikleri kolaydır. Her <math>X</math> uzayına, <math>C(X)</math> ile gösterilen bir [[zincir kompleksi]] denk gelir. Zincir kompleksi, tanım gereği, bir değişmeli grup dizisinden ibarettir. <math>C(X)</math> in elemanları <math>C_j(X)</math> ile gösterilir. Bu zincir kompleksinin ardıl koordinatları
:<math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
46. satır:
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0</math>
ifadesi <math>C(X)</math> i göstermektedir. Bu <math>\partial</math> gönderimlerinin temel özelliği <math>\partial\partial=0</math> olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin
Yukarıda tanımlanan <math>H_k(X)</math> grupları, <math>C(X)</math>˙gruplarının fonksiyonları olduklarından, <math>C(X)</math> değiştirildiğinde farklı <math>H_k(X)</math> grupları elde edilir. <math>C(X)</math> in inşasına göre, <math>H_k(X)</math> lere değişik isimler verilir. <math>C(X)</math> grubu, <math>X</math> uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu <math>CW</math> kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.
54. satır:
(1) Homotopy Koşulu: <math>f, g: (X,A)</math><math>\rightarrow</math> <math>(Y,B)</math> haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.
(2) Tamlık Koşulu: <math>\iota \colon A</math><math>\rightarrow</math> <math>X</math> ve <math>j\colon X</math><math>\rightarrow</math> <math>(X,A)</math>
:<math>\dotsb\overset{\partial_{*}}{\longrightarrow\,}H_k(A)
\overset{\iota}{\longrightarrow\,}H_k(X)
74. satır:
Yukarıda anlatılan temel grup kısmında <math>\pi_1(X,x)</math> tanımlandı. Burada, <math>x\in X</math> noktası sabitlenmişti ve başlangıç bitiş noktaları <math>x</math> olan eğrilerin homotopi sınıfları kullanılmıştı. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan eğrilere döngü denir. Bu eğriler <math>\gamma\colon \mathbb{S}^1\rightarrow X</math> tipinde sürekli fonksiyonlardır. Homotopi kavramı, <math>X</math> in <math>x</math> teki döngülerinin sürekli değişimini izah etmek icin dizayn edilmiştir. <math>\mathbb{S}^1</math> yerine çok boyutlu <math>\mathbb{S}^k</math> kürelerini kullanırsak, "döngü" ler "çok boyutlu döngüler" e dönüşürler. Örnek olarak, çember (yani <math>\mathbb{S}^1</math>) ve küre (yani <math>\mathbb{S}^2</math>) yi düşününüz. Çemberin bir noktasından başlayan döngüler çemberin kendisidir veya tam katlarıdır. Kürenin bir noktasından başlayan döngüler çember şeklindedirler fakat küre nin yüzeyi üzeyinde ki her noktadan bir küre daha, yani çok boyutlu döngü, başlamaktadır. Benzer şekilde 3-boyutlu küre üzerindeki her nokta için 1-boyutlu döngülerin, 2-boyutlu kürelerin ve 3-boyutlu kürelerin homotopik değişimleri incelenebilir.
<math>\pi_1(X,x)</math> grubu 1-boyutlu döngülerin sürekli değişim(homotopi) sınıflarının grubu iken <math>\pi_k(X,x)</math> grubu <math>k-</math>boyutlu kürelerin sürekli değişim grubudur. k sayısı biren büyük ise <math>\pi_k(X,x)</math> değişmelidir. Örnek olarak, <math>\pi_3(\mathbb{S}^2)=\mathbb{Z}</math>, <math>\pi_{k+1}(\mathbb{S}^k)=\mathbb{Z}_2</math>
Bu cebirsel gruplar arasındaki en temel ilişki, lifli fonksiyonlara (fibrasyon) tayin edilen tam-uzun homotopi zinciridir. <math>p\colon X\rightarrow B</math> lifi verilsin. Doku kümesini <math>F</math> ile gösterelim. Bu durumda, homotopi grupları arasında şöyle bir münasepet vardır:
:<math>\dotsb\overset{}{\longrightarrow\,}\pi_k(F)
\overset{\iota_{\sharp}}{\longrightarrow\,}\pi_k(X)
98. satır:
Bu teoremin homoloji versiyonu Mayer-Vietoris teoremidir.
'''Teorem :''' (Mayer-Vietoris) <math>X</math> uzayı <math>U,V</math> gibi iki altuzayın içlerinin birleşimi olsun. <math>\iota^U\colon U\cap V\rightarrow U</math>, <math>\iota^V\colon U\cap V\rightarrow V</math> ve <math>j^V\rightarrow U\cup V</math> gömmeleri
<math>0\overset{0}{\longrightarrow\,}C_k(U\cap V)
| |||