Cebirsel topoloji: Revizyonlar arasındaki fark

'''Cebirsel topoloji''', [[topolojik uzaylar]]ı cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak [[sayılar kuramı]] ya da [[cebir]] yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir [[topoloji]] koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi [[cebirsel]], [[aritmetik]] veya [[topolojik]] [[değişmez]]ler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin [[tıkızlık]], [[bağlantılılık]], [[sayılabilirlik]] bu tür değişmezlerdir. [[Topolojik eşyapı]]sal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez ''aynı'' değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

 

 

=== [[Temel grup]] ===

Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir <math>X</math> uzayı ve içinde bir <math>x_0</math> noktasına karşılık, <math>\pi_1(X,x_0)</math> olarak gösterilen bir gruptur.

 

\overset{}{\longrightarrow\,} \pi_{0}(B)

</math>

Bu tam-uzun zincirde kullanılan <math>p_{\sharp}</math> morfizması <math>p\colon X\rightarrow B</math> tarafından belirlenir. <math>\iota_{\sharp}</math> morfizması <math>F</math> doku kümesini <math>X</math> uzayına gömen <math>\iota\colon F\subset X</math> tarafından belirlenir. <math>\partial_{\sharp}</math> ise bağlantı morfizmasıdır. <math>k\geq 1</math> için <math>\pi_k(X)</math> bir gruptur fakat <math>\pi_0(X)</math> bir grup değildir. Bundan dolayı, yukarıda verilen zincirin 0-ıncı basamağındaki "tam" lığı sadece tanım ve değer kümelerinin örtüşmesine denk gelir. Yandaki şekilde bir fibrasyon örneği izah edilmiştir. Resimde <math> X</math> uzayı <math>E</math> olarak alınmıştır. <math>F</math> uzayı, dörtgensel uzayın, yani <math>E</math> nin, içine çizilmiş siyah bölgedir.