|
== Aşağıdaki diferansiyel denkleminin({{Denklem notu|1}}) Matematiksel Çözümü ==
Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu <math> \boldmathbf{H} = \boldmathbf{r} \times {\dot{\boldmathbf{r}}} </math> sabit kalır:<br/>
<math> \dot {\boldmathbf{H}} = \frac{d}{dt}\left(\boldmathbf{r} \times {\dot{\boldmathbf{r}}}\right) = \dot{\boldmathbf{r}} \times {\dot{\boldmathbf{r}}} + \boldmathbf{r} \times {\ddot{\boldmathbf{r}}} =\boldmathbf{0} + \boldmathbf{0} = \boldmathbf{0}</math><br/>
Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzelmde bulunmak zorundadırlar. (<math> \boldmathbf{H} </math>’ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir {{Denklem notu|1}} doğrusal ivmeye refere eder <math> \left (\ddot{\boldmathbf{r}} \right )</math>, açısalın karşıtı olarak <math> \left (\ddot{\theta} \right )</math> yahut radyal <math> \left (\ddot{r} \right )</math> ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir.Şimdi kartezyen koordinat sistemine <math>(\hat{\boldmathbf{x}} \ , \ \hat{\boldmathbf{y}})</math> ve kutupsal birim vektörlere <math>(\hat{\boldmathbf{r}} \ , \ \hat{\boldsymbol\theta})</math> düzlemi octoganelinde bakalım <math> \boldmathbf{H} </math>:<br/>
<math> \hat{\boldmathbf{r}}=\cos(\theta)\hat{\boldmathbf{x}} + \sin(\theta)\hat{\boldmathbf{y}} </math><br/>
<math> \hat{\boldsymbol\theta}=-\sin(\theta)\hat{\boldmathbf{x}} + \cos(\theta)\hat{\boldmathbf{y}} </math><br/>
Şimdi vektör <math>\boldmathbf{r}</math> fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyali şöyledir as:<br/>
<math> \boldmathbf{r} =r ( \cos\theta \hat{\boldmathbf{x}} + \sin \theta \hat{\boldmathbf{y}}) = r\hat{\mathbf{r}} </math><br/>
<math> \dot{\boldmathbf{r}} = \dot r \hat {\mathbf r} + r \dot \theta \hat {\boldsymbol{\theta}} </math><br/>
<math> \ddot{\boldmathbf{r}} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r \ddot\theta + 2 \dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta} </math><br/>
([[Vektör hesabı|Vektör calculusunu]] inceleyiz). Bunları yerine yazarsak şunu buluruz:<br/> ({{Denklem notu|1}})
Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir.Şuna ulaşırız:
<math> H = |\boldmathbf{r} \times {\dot{\boldmathbf{r}}}| = |(r\cos(\theta), r\sin(\theta), 0) \times (\dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}, \dot{r}\sin(\theta)+r\cos(\theta)\dot{\theta}, 0)| = |(0,0,r^2\dot\theta)| = r^2\dot\theta</math>
{{NumBlk|:|<math> \dot\theta = \frac{H}{r^2} </math>|{{Denklem kaynağı|3}}}}
=== Alternatif Türevleri ===
Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:<br/><math>\boldmathbf{u}</math>‘yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin,<math>\boldmathbf{r} = r\boldmathbf{u}</math> and <math> \ddot{\boldmathbf{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\boldmathbf{u}</math> gibi . Burdan yola çıkarak<br/>
<math>\boldmathbf{H} = \boldmathbf{r} \times \dot{\boldmathbf{r}} = r\boldmathbf{u} \times \frac{d}{dt}(r\boldmathbf{u}) = r\boldmathbf{u} \times (r\dot{\boldmathbf{u}}+\dot{r}\boldmathbf{u}) = r^2(\boldmathbf{u} \times \dot{\boldmathbf{u}}) + r\dot{r}(\boldmathbf{u} \times \boldmathbf{u}) = r^2\boldmathbf{u} \times \dot{\boldmathbf{u}}</math><br/>
Şimdi şunu değerlendiriniz<br/>
<math>\ddot{\boldmathbf{r}} \times \boldmathbf{H} = -\frac{\mu}{r^2}\boldmathbf{u} \times (r^2\boldmathbf{u} \times \dot{\boldmathbf{u}}) = -\mu\boldmathbf{u} \times (\boldmathbf{u} \times \dot{\boldmathbf{u}}) = -\mu[(\boldmathbf{u}\cdot\dot{\boldmathbf{u}})\boldmathbf{u}-(\boldmathbf{u}\cdot\boldmathbf{u})\dot{\boldmathbf{u}}]</math><br/>
(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız<br/>
<math>\boldmathbf{u}\cdot\boldmathbf{u} = |\boldmathbf{u}|^2 = 1</math><br/>
<math>\boldmathbf{u}\cdot\dot{\boldmathbf{u}} = \frac{1}{2}(\boldmathbf{u}\cdot\dot{\boldmathbf{u}} + \dot{\boldmathbf{u}}\cdot\boldmathbf{u}) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\boldmathbf{u}\cdot\boldmathbf{u}) = 0 </math><br/>
Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde<br/>
<math>\ddot{\boldmathbf{r}}\times\boldmathbf{H}=\mu\dot{\boldmathbf{u}}</math><br/>
İki tarafın da integralini alırsak<br/>
<math>\dot{\boldmathbf{r}}\times\boldmathbf{H}=\mu\boldmathbf{u} + \boldmathbf{c}</math><br/>
Burada '''c'' sabit vektördür. Bunu '''r''' ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır<br/>
<math> \boldmathbf{r}\cdot(\dot{\boldmathbf{r}}\times\boldmathbf{H})=\boldmathbf{r}\cdot(\mu\boldmathbf{u} + \boldmathbf{c}) = \mu\boldmathbf{r}\cdot\boldmathbf{u} + \boldmathbf{r}\cdot\boldmathbf{c} = \mu r(\boldmathbf{u}\cdot\boldmathbf{u})+rc\cos(\theta)=r(\mu + c\cos(\theta))</math><br/>
Burada <math>\theta</math> <math>\bar{r}</math> ve <math>\bar{c}</math> arasındaki açıdır. r’ye göre çözersek<br/>
<math> r = \frac{\boldmathbf{r}\cdot(\dot{\boldmathbf{r}}\times\boldmathbf{H})}{\mu + c\cos(\theta)} = \frac{(\boldmathbf{r}\times\dot{\boldmathbf{r}})\cdot\boldmathbf{H}}{\mu + c\cos(\theta)} = \frac{|\boldmathbf{H}|^2}{\mu + c\cos(\theta)}</math><br/>
Dikkat ediniz ki <math>(r,\theta)</math> vektör fonksiyonunun polar kordinatlarıdır. Verilenleri yerine koyarsak ve , şu denkleme ulaşırız<br/>
| 