Bileşke fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark
| [kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
İçerik silindi İçerik eklendi
タチコマ robot (mesaj | katkılar) k Unicodifying & general fixes |
bileşke maddesindeki bilgi taşındı |
||
1. satır:
{{düzenle|Mart 2007}}
{{uzman}}
A kümesindeki elemanları C kümesindeki elemanlara eşleyen h fonksüyonu f ve g fonksiyonları kullanılarak tanımlanabilir. Bu durumda oluşturulan [[İşlev (matematik)|işlev]]e ''bileşke fonksiyon denir''.
f ve g fonksiyonlarının bileşkesi gof(x)şeklinde gösterilir.(gof)(x)fonksiyonu benzer şekilde,(gof)(x)=g(f(x)) biçiminde ifade edilir.
==Örnek==
Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine giden bir [[fonksiyon]]sa, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman <math>g\circ f</math> fonksiyonunu, her <math>x\in X</math> için,
<math>(g\circ f)(x) = g(f(x))</math>
kuralıyla tanımlanan <math>X</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden fonksiyon olarak tanımlayabiliriz. Bu fonksiyona <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının [[bileşkesi]] adı verilir. (İngilizcesi "composition").
Demek ki bileşke,
<math>f: X\longrightarrow Y</math> ve <math>g: Y\longrightarrow Z</math>
fonksiyonlarından,
<math>g\circ f: X\longrightarrow Z</math>
fonksiyonlarını üretir.
'''Dikkat:''' <math>g\circ f</math> yazılımında <math>f</math> ve <math>g</math>'nin sıralamalarına dikkat edin!
'''İkinci Dikkat:''' <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için <math>f</math> fonksiyonunun [[varış kümesi]], <math>g</math> fonksiyonunun [[kalkış kümesi]]ne eşit olmalıdır.
Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>X</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem <math>g\circ f : X \longrightarrow X</math> fonksiyonundan, hem de <math>f\circ g : Y \longrightarrow Y</math> fonksiyonundan söz edebiliriz.
Bileşke, <math>X</math>'ten <math>X</math>'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk<math>(X,\;X)</math> kümesi üzerine bir [[ikili işlem]]dir. [[Özdeşlik fonksiyonu]] Id<math>_X</math>, bu ikili işlemin sağdan ve soldan [[etkisiz eleman]]ıdır. Ayrıca Fonk<math>(X,\;X)</math> kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları [[eşleme]]ler, yani [[bijeksiyon]]lardır.
'''Örnek:''' <math>X=Y=Z=R</math> (gerçel sayılar kümesi) olsun. <math>f</math> fonksiyonu <math>f(x)=x^2</math> ve <math>g</math> fonksiyonu <math>g(x)=x+1</math> olarak tanımlansın. O zaman,
<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2</math>
dir. Ama
<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1</math>
dir. Demek ki
<math>f\circ g \neq g \circ f</math>,
yani bileşkenin [[değişme özelliği]] yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- [[birleşme özelliği]] vardır:
<math>X,\,Y,\,Z,\,T</math> dört küme olsun.
<math>f:X\longrightarrow Y</math>,
<math>g:Y\longrightarrow Z</math>,
<math>h:Z\longrightarrow T</math>
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:
<math>g\circ f: X \longrightarrow Z</math>,
<math>h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T</math>,
<math>h\circ g: Y \longrightarrow T</math>,
<math>(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T</math>.
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
<math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)</math>
eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. <math>X</math> kümesinden herhangi bir <math>x</math> elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu <math>x</math> elemanında değerlendirelim.
<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))</math>
ve
<math>(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))). </math>
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani
<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x)</math>.
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani <math>(h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f)</math> eşitliği çıkar.
[[Kategori:Matematik]]
[[Kategori:Matematik]]
| |||