|
olarak ifade edilebilir. Bu denklem, bir duran dalgada karmaşık yansıma katsayısı ve empedansın hat üzerinde her yarım dalga boyunda bir tekrar ettiğini gösterir. Karmaşık yansıma katsayısına genelde sadece yansıma katsayısı denir. Abağın dışındaki ölçeği dalga boyuna göre oranlanmıştır ve jeneratörden yüke olan uzaklığı belirtir; sıfırdan 0.50 'a göre oranlanmıştır.
====Normalize empedansın hattaki pozisyonuna göre değişimi====
====The variation of normalised impedance with position along the line====
IfEğer <math>V\,</math> andile <math>I\,</math> arehat theboyuncaki voltagevoltaj acrossve andhat thesonuna currentgiren entering[[elektrik theakımı]] terminationolarak attanımlanırsa, theilerleyen endvoltaj of<math>V_\text{F}</math> theile transmissionyansıyan linevoltaj respectively,<math>V_\text{R}</math> then
:<math>V_\text{F} + V_\text{R} = V\,</math> and
:<math>V_\text{F} - V_\text{R} = Z_0 I\,</math>.
eşitlikleri ile ifade edilebilir. Bu denklemler bölünür ve voltajların yerine voltaj yansıma katsayısını koyulursa
By dividing these equations and substituting for both the voltage reflection coefficient
:<math>\Gamma=\frac{V_\text{R}}{V_\text{F}}\,</math>
ve hattın sonundaki normalize empedansı <math>z_\text{T}</math> olarak tanımlanırsa,
and the normalised impedance of the termination represented by the lower case ''z'', subscript T
:<math>z_\text{T}=\frac{V}{Z_0 I}\,</math>
empedans formülü elde edilebilir:
gives the result:
:<math>z_\text{T}=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}\,</math>.
Alternatif olarak, yansıma katsayısını kullanarak aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
Alternatively, in terms of the reflection coefficient
:<math>\Gamma=\frac{z_\text{T} - 1}{z_\text{T} + 1}\,</math>
TheseEmpedans areSmith theabağı equationsbu whichdenklemler areile usedifade to construct the ''Z'' Smith chartedilir. MathematicallyMatematiksel speakingolarak <math>\Gamma\, </math> andve <math>z_\text{T}\, </math> areMöbius relateddönüşümleri viaile abirbirine [[Möbius transformation]]bağlıdır..
<math>\Gamma\,</math> ve <math>z_\text{T}\,</math> birimleri olmadan karmaşık sayılar ile gösterilir. Frekansa bağlı olarak değiştiklerinden hesaplandıkları frekanslar karakteristik empedanslarla birlikte belirtilmelidir. <math>\Gamma\,</math> ayrıca [[karmaşık düzlem]]de açı ve genlik olarak ifade edilebilir. Yansıma katsayısının genliğinin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması gerekir; bundan yola çıkarak katsayı çemberin içinde bir nokta olarak ifade edilebilir. Smith abağının ölçekleri abağın ''kutupsal bir grafik'' olarak kullanılabilmesini sağlar.
Both <math>\Gamma\,</math> and <math>z_\text{T}\,</math> are expressed in [[complex numbers]] without any units. They both change with frequency so for any particular measurement, the frequency at which it was performed must be stated together with the characteristic impedance.
Eşlenmemiş, kayıpsız hattın denklemi,
<math>\Gamma\,</math> may be expressed in [[magnitude (mathematics)|magnitude]] and [[angle]] on a [[complex plane|polar diagram]]. Any actual reflection coefficient must have a magnitude of less than or equal to [[1 (number)|unity]] so, at the test frequency, this may be expressed by a point inside a circle of unity radius. The Smith chart is actually constructed on such a polar diagram. The Smith chart scaling is designed in such a way that reflection coefficient can be converted to normalised impedance or vice versa. Using the Smith chart, the normalised impedance may be obtained with appreciable accuracy by plotting the point representing the reflection coefficient ''treating the Smith chart as a polar diagram'' and then reading its value directly using the characteristic Smith chart scaling. This technique is a graphical alternative to substituting the values in the equations.
By substituting the expression for how reflection coefficient changes along an unmatched loss-free transmission line
:<math>\Gamma = \frac{B \exp(-\gamma \ell)}{A \exp(\gamma \ell)} =\frac{B \exp(-j \beta \ell)}{A \exp(j \beta \ell)}\,</math>
kayıpsız hattın normalize empedans ile yansıma katsayısı formülü
for the loss free case, into the equation for normalised impedance in terms of reflection coefficient
:<math>z_\text{T}=\frac{1 + \Gamma}{1 - \Gamma}\,</math>.
and usingve [[Euler's formulaformülü]] kullanılarak,
:<math>\exp(j\theta) = \cos \theta + j \sin \theta\,</math>
yieldskayıpsız theiletim impedance-versionhattı transmission-linedenklemi equation for the loss free case:türetilebilir.<ref>Hayt, William H Jr.; "Engineering Electromagnetics" Fourth Ed; McGraw-Hill International Book Company; pp 428–433. {{ISBN|0-07-027395-2}}.</ref>
:<math>Z_\text{in} = Z_0 \frac{Z_\text{L} + j Z_0 \tan (\beta \ell)}{Z_0 + j Z_\text{L} \tan (\beta \ell)}\,</math>
Burada <math>Z_\text{in}\,</math>, <math>Z_\text{L}\,</math> ile sonlandırılan <math>\ell</math> uzunluğunda kayıpsız bir iletim hattının girişinde görülen empedansı ifade eder. Bu denklemin eşleniği kayıpsız admitans ile her ikisi için kayıplı durumlarda türetilebilir.
where
<math>Z_\text{in}\,</math> is the impedance 'seen' at the input of a loss free transmission line of length <math>\ell</math>, terminated with an impedance <math>Z_\text{L}\,</math>
Versions of the transmission-line equation may be similarly derived for the admittance loss free case and for the impedance and admittance lossy cases.
The Smith chart graphical equivalent of using the transmission-line equation is to normalise <math>Z_\text{L}\,</math>, to plot the resulting point on a ''Z'' Smith chart and to draw a circle through that point centred at the Smith chart centre. The path along the arc of the circle represents how the impedance changes whilst moving along the transmission line. In this case the circumferential (wavelength) scaling must be used, remembering that this is the wavelength within the transmission line and may differ from the free space wavelength.
====Regions of the ''Z'' Smith chart====
| 