Griezmann [[Mâcon|Mâcon'da]] doğdu. Babası Alain, bir belediye meclisi üyesiydi ve [[Alsas]] kökenli olduğu için soyadı Almancadır.<ref name=wallace>{{Haber kaynağı|last1soyadı1=Wallace|first1ad1=Sam|titlebaşlık=France v Germany World Cup 2014: Antoine Griezmann's rapid rise can outpace German rival|url=http://www.independent.co.uk/sport/football/worldcup/france-v-germany-world-cup-2014-antoine-griezmanns-rapid-rise-can-outpace-german-rivals-9582982.html|workeser=[[The Independent]]|datetarih=3 JulyTemmuz 2014}}</ref> Annesi Isabelle, eski bir hastane temizleyicisi ve [[Portekiz]] kökenli biridir. Annesinin babası Amaro Lopes, 1957 yılında inşaatlarda çalışmak üzere [[Fransa]]'ya geldiğinde Isabelle doğdu ve torunu bir bebek iken 1992 yılında vefat etmiştir. Griezmann çocukken, sık sık [[Paços de Ferreira]]'ya yaptığı gezilerde tatilini geçirdi. Kariyerine UF [[Mâcon|Mâcon'da]] başladı.<ref name ="griezmann_career">{{Haber kaynağı |titlebaşlık=Griezmann: "Un rêve de porter le maillot bleu" (Griezmann: "It's a dream to wear the blue jersey")|url=http://www.fff.fr/selections/m19ans/actualite/533899.shtml|publisheryayıncı=[[French Football Federation]]|datetarih=25 JuneHaziran 2010|accessdateerişimtarihi=27 JuneHaziran 2010|languagedil=FrenchFransızca| archiveurlarşivurl= https://web.archive.org/web/20100629223639/http://www.fff.fr/selections/m19ans/actualite/533899.shtml| archivedatearşivtarihi= 29 JuneHaziran 2010 | deadurl= no}}</ref>
2005 yılında, [[Montpellier HSC|Montpellier]]'de deneme sırasında [[Real Sociedad]]'a karşı oynanan dostluk maçında forma giydi. Maçın ardından, [[Real Sociedad]] kulübünün yetkilileri Griezmann'a bir haftalık denemeye aldılar. Kulüp daha sonra ailesi ile temasa geçti ve oyuncu ile gençlik sözleşmesi imzaladı. Griezmann'ın ailesi başlangıçta [[İspanya]]'ya taşınmak için isteksiz oldular fakat bir zaman sonra kabul ettiler.
