Vikipedi

Hamilton mekaniği: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Nanahuatl (mesaj | katkılar)
Devriyeler
538.439 değişiklik
k Rapsar, Hamilton Mekaniği sayfasını Hamilton mekaniği sayfasına taşıdı: imla
düzeltme AWB ile
5. satır:
==Genel bakış==
 
Hamilton mekaniğinde klasik bir sistem [[kanonik koordinatlar]] {{mathMatematik|'''''r''''' {{=}} ('''''q''''', '''''p''''')}} ile ifade edilir. Koordinatdaki her bir bileşen {{mathMatematik|''q<sub>i</sub>'', ''p<sub>i</sub>''}} sistemin referans noktasını göstermektedir.
 
Sistemin zaman içindeki değişimi Hamilton denklemi tarafından özgün biçimde aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır;
70. satır:
:<math>\mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \mathrm{d} p_i \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t</math>
 
Buna ek olarak Hamiltonyen {{mathcalMatematikcal|H}}'in doğrudan zaman göre toplam türevini hesaplamak da mümkündür. Yukarıda, Lagranjiyen {{mathcalMatematikcal|L}}'in üzerinde yapılan hesaplamalara benzer bir işlem uygulandığında sonuç şu şekilde olacaktır;
 
:<math>\mathrm{d} \mathcal{H}=\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i +
126. satır:
:<math>\mathcal{H}\left(q^j,p_j,t\right) = \left(\sum_i \dot{q}^i p_i\right) - \mathcal{L}\left(q^j,\dot{q}^j,t\right).</math>
 
Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri {{mvar|t}}'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen {{mvar|H}} toplam enerji {{mathMatematik|''E'' {{=}} ''T'' + ''V''}} 'ye eşittir.
 
Hamiltonyen {{mvar|H}}'in tanımında gösterilen eşitliğin her tarafı bir diferansiyel denklem oluşturmaktadır:
143. satır:
</math>
 
Hamilton denklemleri {{mathMatematik|2''n''}} tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri {{mvar|n}} tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür.
 
Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem {{mvar|n}} koordinatdan {{mathMatematik|(''n'' − 1)}} koordinata indirgenmiş olur.
 
Lagrange ve Hamilton yaklaşımları, klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniğinin formülasyonları için daha derin sonuçların zeminini oluşturmaktadır.
161. satır:
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \left\{f, \mathcal{H}\right\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>
 
ve denklem içindeki {{mvar|f}}, {{mvar|p}} ve {{mvar|q}}'nun birer fonksiyonu iken {{mathcalMatematikcal|H}} ise Hamiltonyendir.
 
***
167. satır:
==Elektromanyetik alan içerisindeki yüklü parçacık==
 
Elektromanyetik alan içerisinde bulunan yüklü bir parçacığın Hamiltonyeni, Hamilton mekaniğinin iyi bir illüstrasyonudur. Kartezyen koordinatlarda (örneğin {{mathMatematik|''q<sub>i</sub>'' {{=}} ''x<sub>i</sub>''}}) relativistik olmayan klasik bir parçacığın elektromanyetik alan içindeki Hamiltonyeni aşağıdaki gibidir (standard birimler kullanıldığı takdirde);
 
: <math> \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i e \dot{x}_i A_i - e \varphi</math>
215. satır:
:<math>\frac\mathrm{d}{\mathrm{d} t}\left(\frac{m \dot{\mathbf{x}}} {\sqrt {1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}}\right) = e \mathbf{E} + e \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{B} </math>
 
Buna denk olan bir başka Hamiltonyen tanımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. Burada Hamiltonyen relativistik kinetik momentuma bağlı bir foksiyondur {{mathMatematik|'''p''' {{=}} ''γm'''''ẋ'''(''t'')}},
 
:<math>\mathcal{H}(t) = \dot{\mathbf{x}}(t) \cdot \mathbf{p}(t) +\frac{mc^2}{\gamma} + e \varphi (\mathbf{x}(t),t)=\gamma mc^2+ e \varphi (\mathbf{x}(t),t)=E+V</math>
 
Bu yöntem ile {{mathMatematik|'''P'''}}'nin deneysel olarak ölçülememesine karşın {{mathMatematik|'''p'''}} deneysel olarak ölçülebilir. Bu hesaplamada Hamiltonyenin (toplam enerji) relativistik enerji (kinetik + durgun kütle) {{mathMatematik|''E'' {{=}} ''γmc''<sup>2</sup>}}, ve potansiyel enerji {{mathMatematik|''V'' {{=}} ''eφ''}} toplamı olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.
 
ÖNCEKİ BAŞLIK ==Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak==
227. satır:
==Hamiltonyen sistemlerin geometrisi==
 
Hamiltonyen bir sistem zaman {{mvar|R}} üzerinde bulunan lif yumağı {{mvar|E}} olarak anlaşılabilir. Fiberler {{mvar|E<sub>t</sub>}}, {{mathMatematik|''t'' ∈ ''R''}} burada konum uzaylarıdır. Böylece Lagranjiyen {{mvar|E}} üzerinde bulunan jet yumağı {{mvar|J}}'dir. Lagranjiyenin lif benzeri Legendre dönüşümlerinin alınmasıyla, zaman üzerinde çiftle yumak fonksiyonları oluşturulur. Burada {{mvar|t}}'de bulunan lif kotanjant uzayı {{mathMatematik|''T''*''E<sub>t</sub>''}}'dir. Doğal simplektik form ile donatılmış ve bu fonksiyon Hamiltonyendir.
 
***
237. satır:
==Matematiksel kurgu==
 
Simplektik manifold içerisinde herhangi bir düzgün (smooth) gerçel değerli fonksyion {{mathcalMatematikcal|H}} Hamiltonyen sistem tanımlamak için kullanılabilir. {{mathcalMatematikcal|H}} foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanılır. Böylece simplektik manifold faz uzayı olarak da adlandırılır. Hamiltonyen, simplektik manifold üzerinde özel bir vektör alanı tanımlar ve bu alan Hamiltonyen vektör alanı olarak adlandırılır.
 
Özel bir çeşit simplektik vektör alanı olan Hamiltonyen vektör alanı, manifold üzerinde Hamiltonyen akışını oluşturur. Bu durum manifoldun tek parametreli dönüşüm ailesidir. Eğrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandırılır. Başka bir deyişle simplektikmorfizmin izotopisi özdeşlik ile başlar. Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm, faz uzayındaki hacim formunu korur. Hamiltonyen akış tarafından oluşturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekaniği olarak adlandırılır.
249. satır:
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \left\{\rho ,\mathcal{H}\right\}</math>
 
bunun nedeni faz uzayı hızı {{mathMatematik|(''ṗ<sub>i</sub>'', ''q̇<sub>i</sub>'')}}'nın diverjansının sıfır olmasıdır ve olasılık korunmaktadır. Bu durum Liouville teoremi olarak adlandırılır.
 
Simplektik manifold üzerindeki her bir düzgün (smooth) fonksiyon {{mvar|G}}, simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir. Eğer ki {{mathMatematik|{''G'', ''H''} {{=}} 0}} durumu sağlanır ise, {{mvar|G}} korunur ve simplektikmorfizm bir simetri dönüşümüdür.
 
Bir Hamiltonyen birden fazla korunan nicelik içerebilir {{mvar|G<sub>i</sub>}}. Eğer ki simplektik manifold 2''n'' boyuta sahipse ve sistemde ''n'' tane bağımsız fonksiyonumsu olan korunmuş nicelik {{mvar|G<sub>i</sub>}} var ise Hamiltonyen Liouville integral alınabilirdir. Liouville-Arnold teoremi, yerel olarak herhangi bir Liouville integral alınabilir Hamiltonyeninin, bir simplektomorfizm vasıtasıyla, korunan nicelikleri {{mvar|G<sub>i</sub>}} ile yeni bir Hamiltoniyene dönüştürülebileceğini ifade eder. {{mvar|G<sub>i</sub>}} koordinatlarının bu yeni formu aksiyon açısı koordinatları olarak adlandırılır. Dönüştürülen Hamiltonyen sadece {{mvar|G<sub>i</sub>}}'a bağımlıdır. Böylece hareket denklemleri şu basit forma sahip olurlar;
267. satır:
:<math>\mathcal{H}(q,p)= \tfrac{1}{2} \langle p,p\rangle_q</math>
 
Denklemde bulunan {{mathMatematik|⟨ , ⟩<sub>''q''</sub>}}, bazen kometrik olarak da adlandırılır ve konfigürasyon uzayı {{mvar|q}}'ya kotanjant uzayında fiber {{mathMatematik|''T''{{su|b=''q''|p=∗}}''Q''}}'da düzgünce değişiklik gösterir. Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kısımdan oluşmaktadır.
 
Riemann manifold veya yarı Riemann manifold göz önünde bulundurulduğunda, Riemann metriğin tanjant ve kotanjant demetleri arasında doğrusal izomorfizme yol açtığı görülür. Bu isomorfizm kullanılarak kometric tanımlanabilir. Koordinatlar içersinde kometriği tanımlayan matriks, metriği tanımlayan matriksin tersidir. Hamiltonyen için Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümü, manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynıdır. Bilhassa, bu durumda gözlenen Hamiltonyen akış, jeodezik akış ile aynıdır. Bu çözümün varlığına ve varlığının oluşturduğu setin tamamlayıcılığına dair detaylı bilgi jeodezik makalesinde daha detaylı anlatılmıştır.
283. satır:
==Poisson cebir==
 
Hamiltonyen sistemler farklı yöntemler ile genelleştirilebilirler. Simplektik manifold üzerinde bulunan düzgün (smooth) bir fonksiyonun cebirine basitçe bakmak yerine, Hamiltonyen mekaniği genel komütatif birimsel gerçek Poisson cebir (general commutative unital real Poisson algebra) üstüne formüle edilebilir. Bir durum Poisson cebirinde devamlı doğrusal (lineer) fonksiyonumsudur. Bu fonksiyonumsu bazı uygun topolojiler ile donatılmıştır ve barındırdığı her element {{mvar|A}} için {{mathMatematik|''A''<sup>2</sup>}} pozitif olmayan gerçel sayılar kümesi düşer.
 
İleri seviyedeki genelleştirmeler Nambu dinamikleri ile tanımlanmıştır.
"https://tr.wikipedia.org/wiki/Hamilton_mekaniği" sayfasından alınmıştır