"Rastgele yürüyüş" sayfasının sürümleri arasındaki fark

düzeltme, added orphan tag, yazış şekli: bir çok → birçok , tamsayı → tam sayı (3) AWB ile
(düzeltme, added orphan tag, yazış şekli: bir çok → birçok , tamsayı → tam sayı (3) AWB ile)
{{Öksüz|date=Şubat 2018}}
 
[[Dosya:Random_Walk_example.svg|sağ|küçükresim|283x283pik|Tek boyutta, sıfırdan başlayan, sekiz adet rastgele yürüyüş örneği. Grafik, anlık çizgi üzerindeki konum (dikey eksen) ile zaman adımlarını (düşey eksen) göstermektedir.]]
'''Rastgele yürüyüş '''(ya da''' rassal yürüyüş''') [[matematik]]sel bir nesne olup, bir [[stokastik]] veya [[Stokastik süreç|rastgele süreç]] olarak bilinir. Bu süreç, herhangi bir matematiksel uzayda –örneğin [[tam sayı|tamsayılar]] uzayı–atılan rastgele adımların toplamından oluşan patikayı tanımlamaya yöneliktir. Örneğin, bir [[molekül]]ün sıvı veya gaz içerisinde izlediği yol, hayvanların yem arayışında takip ettiği patika, değişkenlik gösteren hisse fiyatları ve de bir borsa oyuncusunun finansal durumu rastgele yürüyüş modelleri ile tahmin edilebilir; ancak gerçekte tamamen rastlantısal olmama ihtimalleri de vardır. Bu örneklerin de gösterdiği gibi, rastgele yürüyüş modelinin birçok bilim dalında uygulama alanı mevcuttur; [[ekoloji]], [[psikoloji]], [[Bilgisayar bilimi|bilgisayar bilimleri]], [[fizik]], [[kimya]], [[biyoloji]] ve [[Ekonomi (bilim dalı)|ekonomi]] bunlara örnektir.
 
 
Rassal yürüyüş bahsi geçen alanlarda gözlenen birçok süreci açıklamakla beraber kaydedilmiş stokastik aktiviteyi açıklamak için de temel bir model sunar. Daha matematiksel bir uygulama olarak ise pi sayısına, ajan tabanlı modelleme çerçevesinde, rassal yürüyüş kullanılarak yapılan yaklaşım örnek olarak verilebilir. Rastgele Yürüyüş ilk defa 1905 senesinde [[Karl Pearson]] tarafından ortaya konmuştur.
 
Rastgele yürüyüşler, ilginçtir ki, çeşitli şekillerde farklılık gösterebilirler. Rassal yürüyüş teriminin kendisi genelde Markov zincirlerinin veya Markov süreçlerinin özel bir kategorisini belirtir, ancak zamana bağımlı rassal yürüyüş süreçlerinin birçoğu özelliklerini belirten bir niteleyici ile birlikte anılır. Rastgele yürüyüş (Markov olsun ya da olmasın) çeşitli uzaylarda yer alabilir: yaygın olarak incelenenler arasında graf (çizge), tamsayılartam sayılar ya da gerçek doğru, düzlem ya da yüksek boyutlu vektör uzayları, eğimli yüzeyler ya da daha yüksek boyutlu Riemann manifoldları ve sonlu, sonlu üretilmiş veya Lie grupları verilebilir. Ayrıca zaman parametresi de manipüle edilebilir. En basit bağlamda yürüyüş, ayrık zamanda doğal sayılar üzerinde indislenmiş rastgele değişkenlerin sıralanışıdır <math>(X_t) = (X_1, X_2, ..)</math>. Bununla birlikte adımların rastgele zamanlarda atıldığı rassal yürüyüşler tanımlamak da mümkündür ve bu durumda <math>X_t</math> her zaman ''t &isin; [0,+&infin;)'' olarak tanımlanmalıdır. Lévy uçuşu, Brown hareketi ve difüzyon modelleri özel durumlar ya da limitler içeren rassal yürüyüş modelleridir.
 
Rassal yürüyüş, Markov süreçlerini anlamak için bilinmesi gereken temel modeldir.
 
==Örgü Rastegele Yürüyüş==
 
Eğer durum uzayı sonlu boyutlarla sınırlıysa, rastgele yürüyüş modeli basit sınırlandırılmış simetrik rastgele yürüyüş olarak adlandırılır ve geçiş olasılıkları uzayın konumuna bağlıdır, çünkü kenarlar ve köşe noktalarında hareket sınırlıdır.
 
 
===Bir boyutta rastgele yürüyüş===
 
TamsayılarTam sayılar kümesinde tanımlı <math>\mathbb Z</math> bir sayı doğrusu üzerinde 0'dan başlayarak her aşamada +1 veya -1 eşit olasılıkla gerçekleştirilen hareket rastgele yürüyüşün basit bir örneğidir.
 
Bu yürüyüş aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi tasvir edilebilir. Bir gösterge sayı doğrusunda sıfıra yerleştirilir ve hilesiz madeni para çevrilir. Tura gelirse gösterge bir birim sağa taşınır. Yazı gelirse gösterge bir birim sola hareket ettirilir. Beş atıştan sonra gösterge artık 1, -1, 3, -3, 5 veya -5'te olabilir. Beş atıştan üçünün tura ve ikisinin yazı gelişi, sıradan bağımsız olarak, göstergeyi 1'e getirir. Toplamda 1’e ulaşmanın 10 farklı (üç tura ve iki yazı ) -1’e ulaşmanın 10 farklı (üç yazı iki tura), 3’e ulaşmanın 5 farklı (dört tura ve bir yazı) -3’e ulaşmanın 5 (dört yazı ve bir tura) 5’e ulaşmanın 1 (beş tura) ve -5'e ulaşmanın 1 yolu vardır (beş yazı). 5 atışın olası sonuçlarını gösteren illüstrasyon için aşağıdaki şekle bakınız.
 
 
 
[[File:Flips.svg|thumb|1000px|center|5 adet yazı-tura denemesinin olası tüm rastgele yürüyüş sonuçları]]
Bağımsız rastsal değişkenler kullanılarak ve <math>E(Z_n^2)=1</math> kabulü yapılarak benzer bir hesaplama :
:<math>E(S_n^2)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E(Z_j Z_i)=n.</math> ile gösterilir.
 
 
<math>E(|S_n|)\,\!</math> sonucuna göre n adım sonrasında beklenen ötelenme miktarı <math>\sqrt n</math> mertebesinde olmalı ve:
Bu sonuç şunu göstermektedir: karma durumlarda yayılım büyük <math>N</math> değerleri için etkisizdir.
 
Sonsuza kadar gitmesine izin verildiği takdirde bir rastgele yürüyüşün kaç kere sınır çizgisinden geçmesi beklenir? <math>\mathbb Z</math> içindeki basit bir rassal yürüyüş her noktadan sonsuz defa geçer. Bu sonuç kesişen seviyeler fenomeni (level-crossing phenomenon) ve sarhoş yürüyüşü(gambler’s ruin) gibi bir çokbirçok isimle anılır. Sarhoş yürüyüşü isminin verilme nedeni ise basitçe kumarbazın (gambler) cebinde bulunan kısıtlı para ile bu paraya kıyasla sonsuz miktarda fazla denebilecek paraya sahip bankaya karşı oynadığı kumarı en sonunda kaybetmesi durumundan gelir. Kumarbazın parası (sarhoş yürüyüşü olarak tanımlanan nokta) rastgele yürüyüş ile modellendiğinde de görüldüğü üzere bir noktada sıfıra ulaşacaktır ve oyun bitmiş olacaktır.
 
''a'' ve ''b'' nin pozitif tamsayılartam sayılar olduğunu varsayarsak; bir boyutta ve 0 dan başlayarak b sayısı üzerinden geçen yahut 0 dan başlayarak ''-a'' sayısı üzerinden geçen basit bir rastgele yürüyüşün içerdiği beklenen adım sayısı ''ab'' dir. Yürüyüşün ''b'' sayısının üzerinden ''-a'' sayısından önce geçtiğinin olasılığı ise ,bu rastgele yürüyüşün martingale olasılık teorisi gözönünde bulundurularak, <math>a/(a+b)</math> şeklinde gösterilir.
Sonsuza kadar gitmesine izin verildiği takdirde bir rastgele yürüyüşün kaç kere sınır çizgisinden geçmesi beklenir? <math>\mathbb Z</math> içindeki basit bir rassal yürüyüş her noktadan sonsuz defa geçer. Bu sonuç kesişen seviyeler fenomeni (level-crossing phenomenon) ve sarhoş yürüyüşü(gambler’s ruin) gibi bir çok isimle anılır. Sarhoş yürüyüşü isminin verilme nedeni ise basitçe kumarbazın (gambler) cebinde bulunan kısıtlı para ile bu paraya kıyasla sonsuz miktarda fazla denebilecek paraya sahip bankaya karşı oynadığı kumarı en sonunda kaybetmesi durumundan gelir. Kumarbazın parası (sarhoş yürüyüşü olarak tanımlanan nokta) rastgele yürüyüş ile modellendiğinde de görüldüğü üzere bir noktada sıfıra ulaşacaktır ve oyun bitmiş olacaktır.
 
''a'' ve ''b'' nin pozitif tamsayılar olduğunu varsayarsak; bir boyutta ve 0 dan başlayarak b sayısı üzerinden geçen yahut 0 dan başlayarak ''-a'' sayısı üzerinden geçen basit bir rastgele yürüyüşün içerdiği beklenen adım sayısı ''ab'' dir. Yürüyüşün ''b'' sayısının üzerinden ''-a'' sayısından önce geçtiğinin olasılığı ise ,bu rastgele yürüyüşün martingale olasılık teorisi gözönünde bulundurularak, <math>a/(a+b)</math> şeklinde gösterilir.
 
Yukarıdaki hesaplamlarda bahsedilen sonuçların bazıları [[Pascal üçgeni]]’nin özellikleri kullanılarak türetilebilir. ''n'' tane +1 veya -1 adım içeren birbirinden farklı rastgele yürüyüş sayısı 2<sup>''n''</sup> şeklinde gösterilir. Basit bir rastgele yürüyüşde bu adımların atılma olasılığı birbirine eşittir. ''S<sub>n</sub>'' in k sayısına eşit olması için rastgele yürüyüş içerisindeki +1 adımların, -1 adımların sayısınının üzerine çıkarılması ve böylece k nın çıkarılması gereklidir. <math>S_n=k</math> durumunu sağlayan rastgele yürüyüş sayısı (''n''&nbsp;-&nbsp;''k'')/2 şeklinde gösterilir ve ''n'' izin verilen hareket sayısıdır. Bu durumda <math>n \choose (n-k)/2</math> gösterimi de kullanılabilir. Anlamlı bir sonuç elde etmek için ''n'' ve ''k'' çift sayı olmalıdır. Bu nedenle <math>S_n=k</math> olasılığı <math>2^{-n}{n\choose (n-k)/2}</math> kombinasyonuna eşittir. Pascal üçgeninin girdilerini faktöriyel cinsinden ifade ederek ve sonrasında faktöriyel hesaplaması için Stirling formülünü (Stirling’s approximation) kullanarak büyük ''n'' değerleri için yaklaşık sonuçlar elde edilebilir.
 
:<math>\,P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}.</math>
 
 
[[Kategori:Stokastik süreçler]]
 
 
 
 
[[Kategori:Stokastik süreçler]]