"Hamilton mekaniği" sayfasının sürümleri arasındaki fark

(ingilizceden çeviri)
 
Sistemin zaman içindeki değişimi Hamilton denklemi tarafından özgün biçimde aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır;
 
<math>
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{q}}\quad,\quad
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{\mathrm{d}t} = +\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{p}}
</math>
|cellpadding= 5
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
 
ve denklem içerisindeki {{math|{{mathcal|H}} {{=}} {{mathcal|H}}('''''q''''', '''''p''''', ''t'')}} Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen {{math|{{mathcal|H}} sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir.
 
ve denklem içerisindeki {{<math|>{{mathcal|H}} {{=}} {{mathcal|H}}</math>('''''q''''', '''''p''''', ''t'')}} Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen {{math|{{mathcal|'''H}}''' sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir.
Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında {{mvar|'''q'''}} ve {{mvar|t}} değerlerinin sabit tutulup {{mvar|'''p'''}} 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır.
 
Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında {{mvar|'''q'''}} ve {{mvar|t}} değerlerinin sabit tutulup {{mvar|'''p'''}} 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır.
 
Hamilton mekaniği zıplayan bir top, bir sarkac veya salınım yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini açıklamak için kullanılabilir. Bu basit sistemlerdeki enerji, kinetik enerji ve potansiyel enerji arasında zamanla değişime uğrayarak birbirine dönüşür. Buna ek olarak Hamilton mekaniğinin gücünün asıl görüldüğü nokta daha karmaşık dinamik sistemlerdir. Gezegenlerin yörünge hareketleri, gök mekaniği gibi alanlar buna birer örnektir. Sistemin hareket eksenlerindeki özgürlük arttıkça, sistemin zamana bağlı değişkelerinin hesaplanması zorlaşır. Çoğu durumda ise bu sistemler kaotik davranışlar gösterir.
===Temel fiziksel yorum===
 
Hamilton mekaniğinin en temel yorumlarından birisi, 1 boyutta hareket eden {{mvar|mv}} kütleli bir cisme uygulanan Hamiltonyen'dır. Hamiltonyen, sistemin toplam enerjisini yani kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamını ifade etmektedir. Geleneksel olarak kinetik enerji {{mvar|T}} ve potansiyel enerji {{mvar|V}} ile gösterilir. Denklemlerde görünen {{mvar|q}} pozisyonu ifade eden koordinat iken {{mvar|p}} ise momentumu ifade etmektedir. Böylede;
 
:<math>\mathcal{H} = T + V \quad , \quad T = \frac{p^2}{2m} \quad , \quad V = V(q) </math>
 
{{mvar|T}}'nin sadece {{mvar|p}}'ye bağlı bir fonksiyon, {{mvar|V}}'nin ise sadece {{mvar|q}}'ya bağlı bir fonksiyon olduğu açıkca görülmektedir.
 
Bu örnekte, {{mvar|p}}'nin zamana bağlı türevi Newtonyan kuvvete eşittir. Buda birinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi kuvvet, potansiyel enerjinin negatif gradyanına eşittir. {{mvar|q}}'nun zamana bağlı türevi ise hıza eşittir. Buda ikinci Hamiltonyen denkleminin ifade ettiği gibi parçacığın hızı, kinetik enerjinin momentuma bağlı türevine eşittir.
 
===Hamiltonyenin Lagranjiyen kullanılarak hesaplanması===
 
Genel koordinatlar {{mvar|q<sup>i</sup>}} ve genel hızlar {{mvar|q̇<sup>i</sup>}} ve zaman cinsinden verilen bir Lagranjiyen
 
|Lagranjiyenin genel hızlara göre türevi alınarak momentum hesaplanır:
{{ordered list
|Lagranjiyenin genel hızlara göre türevi alınarak momentum hesaplanır:
:<math>p_i(q^i, \dot q^i, t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i}</math>
 
|Önceki ifade de değişkenlerin yerleri değiştirilerek genel hızlar {{mvar|q̇<supsub>i</supsub>}} genel momentum {{mvar|p<submath>ip_i</submath>}} cinsinden tanımlanır.
|{{mathcal|H}}'ın genel tanımı olan {{mathcal|L}}'in Legendre dönüşümü kullanılarak Hamiltonyen hesaplanır:
 
|{{mathcal|H}}'ın genel tanımı olan {{mathcal|L}}'in Legendre dönüşümü kullanılarak Hamiltonyen hesaplanır:
:<math>\mathcal{H} = \sum_i \dot{q}^i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i}- \mathcal{L} = \sum_i \dot{q}^i p_i - \mathcal{L}</math>
Sonrasında ise hızlar yukarıdaki denklemde yerlerine yazılır.
}}
 
 
==Hamilton'un denklemlerinin türetilmesi==
1.266

değişiklik