Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler: Revizyonlar arasındaki fark

Doğrusal ve zamanla değişmeyen ('''DZD''') sistemler, tüm sistemler ailesinin '''<u>en önemli alt kümesini</u>''' oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) [[sinyal işleme]] alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin ([[Fourier dönüşümü|Fourier dönüşümleri]], [[Konvolüsyon Operatörü]], Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır. <ref>https://books.google.com.tr/books/about/Signals_and_Systems.html?id=PVWNPgAACAAJ&redir_esc=y&hl=tr</ref>

Giriş-Çıkış ilişkisi <math>y(t)=T\{x(t)\}</math> , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali <math>x_1(t)</math> ve <math>x_2(t)</math> ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de <math>y_1(t) = T\{x_1(t)\}</math> ve <math>y_2(t) = T\{x_2(t)\}</math> olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de <math>x_3(t) = a x_1(t) + b x_2(t)</math> şeklinde (linear kombinasyon) tanımlarsak, '''doğrusal''' bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: ('''Süperpozisyon''' özelliği)

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi <math>y(t)=T\{x(t)\}</math> , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş <math>x_1(t)</math> ve karşılık gelen çıkış <math>y_1(t) = T\{x_1(t)\}</math> olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: <math>x_2(t) = x_1(t-d) ~~,~~ d \in R </math> , bu sistemin '''zamanla değişmeyen''' özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

<math display="block">y_2(t) \triangleq T\{x_2(t)\}=T\{x_1(t-d)\}=y_1(t-d) </math>

Benzeri bir tanım '''ayrık zamanlı''' DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

<u>Ayrık zamanlı bir sistemin '''DZD''' olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması '''gerekli ve yeterli koşuldur''':</u>

1- <math display="inline">y_3[n] = T\{x_3[n]\}=T\{a x_1[n] + b x_2[n]\}=aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\} = ay_1[n]+by_2[n] </math>

2- <math display="inline">y_2[n] \triangleq T\{x_2[n]\}=T\{x_1[n-d]\}=y_1[n-d] ~~~,~~ d \in Z </math>

<math>x_1(t)</math> ve <math>x_2(t)</math> girişler için çıkışlar <math>y_1(t) = e^{-x_1(t)}</math> ve <math>x_2(t) = e^{-x_2(t)}</math> olsun, <math>x_3(t)=ax_1(t) + bx_2(t)</math> için çıkış<math display="block">y_3(t)= T\{ax_1(t) + bx_2(t)\}=e^{-ax_1(t) - bx_2(t)} = (e^{-x_1(t)})^a \cdot (e^{-x_1(t)})^b = (y_1(t))^a \cdot (y_2(t))^b \neq ay_1(t) + by_2(t) </math>olduğundan, '''doğrusal''' '''değildir'''.