Cook-Levin teoremi: Revizyonlar arasındaki fark

düzeltme AWB ile
(<math>\emptyset_{\mathrm{kabul} }=\bigvee_{1\le i,j\le n^k}\chi_{i,j,q_{\mathrm{kabul} } }</math>)
(düzeltme AWB ile)
'''SAT''' problemi bir '''NP-tam''' sınıfı problemidir.
 
 
== Giriş ==
 
Teoremin ispatına geçmeden önce teoremin çıkış noktası üzerinde duralım. Polinom zamanda kararlaştırılan problem([[P sınıfı]] problemleri) ile polinom zamanda doğrulanabilen problem ([[NP sınıfı]] problemleri) sınıflarının birbirine denk olup olmadığı güncel matematik ve teorik bilgisayar biliminin bir türlü çözemediği bir sorun olagelmiştir. Eğer bu sınıflar birbirine denk olduğu gösterilirse herhangi polinom zamanda doğrulanabilen bir problemin (NP sınıfı problemi) artık polinom zamanda kararlaştırılabiliyor olacağı kesin olarak söylenmiş olacaktır.<br />
 
 
1970’lerde P ve NP sınıflarının arasındaki ilişkiye [[Stephen Cook]] ve [[Leonid Levin]] adındaki iki bilim adamı farklı bir açıdan yaklaşmışlardır; bazı NP sınıfı problemlerinin karmaşıklıklarının tek başlarına tüm NP sınıfının karmaşıklığına eşit olduğunu fark etmişler.Eğer bu tip problemlerin polinom zamanda bir çözümü bulunursa NP sınıfındaki tüm problemler polinom zamanda çözülebilir.Bu tip problemlere ilerde değineceğiz ve bun tip problemlere NP-tam sınıfı problemleri diyeceğiz. Dolayısıyla Cook-Levin yaklaşımının bir sonucu olarak P sınıfıyla NP sınıfının eşitliğini iddia eden biri [[NP-tam]] bir problemi polinom zamanda çözmesi iddiasını ispatlamak için yeterli olacaktır.
 
== NP-Tam Sınıfı ==
 
 
Bir B dili NP-tam ise şu iki şartı sağlamalıdır:
# B dili NP sınıfındadır.
# NP sınıfındaki her dil B diline polinom zamanda indirgenebilir.<br />
 
 
Burada yeni bir kavramla karşılaşıyoruz; “[[polinom zamanda indirgemek]]”. Bunu fazla derine inmeden şöyle özetleyebiliriz; eğer bir problemin çözümünü bilmiyorsak ya da çözümü bulmakta çok zorlanıyorsak asıl problemimizi çözmeye yardımcı olacak yeni bir probleme indirgeriz ve çözüme yeni indirgenmiş problem aracılığıyla ulaşırız. Eğer bu indirgememiz polinom zamanda gerçekleştirilirse buna da “polinom zamanda indirgemek” adını veririz. Buna şöyle bir örnek verebiliriz: Bilmediğiniz bir yere gitmek istediğinizi farz edelim ve bu problemin sizin için zor bir problem olduğunu düşünelim. Bu durumda gideceğiniz yere ulaşmak için bir yardımcıya ihtiyacınız olacaktır. Bu yardımcılar taksiye binmek, harita elde etmek ya da bilen birine sormak bunlar arasında sayılabilir. Böylelikle bizim için zor olan problemimiz taksi ya da harita bulmak kadar basit bir probleme indirgenmiş oldu. Kısaca buna da değindikten sonra artık teoremimize dönelim.
# SAT problemini polinom zamanda doğrulayan bir Turing Makinesi(TM) tasarlamalıyız.
# Ya da SAT problemini polinom zamanda kararlaştıran bir deterministik olmayan Turing Makinesi (NTM) tasarlamalıyız.
<br />
 
Biz burada 2. yolla bunu ispatlayalım:
Deterministik olmayan N Turing Makinesi, SAT dilini polinom zamanda aşağıdaki gibi kararlaştırsın:
 
N: “ ∅ ’nin Boolean ifade, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>,...., x<sub>k</sub>’nin de bu ifadenin bir değişkeni olsun ve makine girdi olarak < ∅, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>,...., x<sub>k</sub> > katarını alsın.<br />
 
# Deterministik olmayacak şekilde boolean ifadedeki değişkenlere “doğru ve yanlış” değerlerini ata.
<br />
Dolayısıyla problemimiz
∅ = ∅<sub>hücre</sub> ∧ ∅ <sub>başlangıç</sub> ∧ ∅ <sub>kabul</sub> ∧ ∅ <sub>hareket</sub> probleminin doğrulanmasına indirgendi. Diğer bir değişle A dilini SAT diline indirgemiş olduk.
 
İndirgemeyi yaptık şimdi bunun polinom zamanda olduğunu ispatlamaya geldi sıra.
 
== Sonuç ==
Şimdi bunun bize ne katacağını ifade edelim;<br />
 
Farz edelim ki SAT problemine polinom zaman da bir çözüm bulunmuş olsun("SAT ∈ P" ). Bu bize şunu ifade eder SAT problemi hem NP sınıfının içinde(Cook-Levin teoreminden) hem de P sınıfının(varsayımdan) içinde ve diğer yandan her NP dili SAT problemine polinom zamanda indirgenebiliyor((Cook-Levin teoreminden)) dolayısıyla bu NP sınıfı ile P sınıfın denk olduğu anlamına geliyor. Aslında Cook-Levin ikilisinin bu teorem ile amaçladıkları şey de tam olarak buydu yani P ile NP sınıfının eşitliğini iddia eden biri NP-tam sınıfından bir probleme polinom zamanda çözüm bulması iddiasını kanıtlamak için yeterli olacaktır.
1.332.802

düzenleme